famille génératrice

[invite93ca7f22]

F = {(x,y,z) appartiennent à R^3 : (x+y-2z)² + (2x-y+z)² = 0 }
Comment déterminer une famille génératrice de F ?

(x+y-2z)² + (2x-y+z)² = 5x² + 2y² + 5z² - 2xy -6yz

Merci pour votre aide...
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[inviteaf1870ed]

F ne me semble pas vraiment être un s.e.v....

[invite93ca7f22]

-0_R^3 appartient à F
-F est stable par l'addition de deux vecteurs et la multiplication par un scalaire
Donc F est un sev de R^3 !!!

[gg0]

Bonsoir.

Une somme de carrés est nulle si et seulement si chacun des termes au carré est lui-même nul. Donc ton E est l'ensemble des (x,y,z) tels que x+y-2z=0 et 2x-y+z=0.
Ce qui te permet de trouver par exemple x et y en fonction de z, et de trouver immédiatement une famille génératrice (de 1 vecteur).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Oui autant pour moi, j'avais mal lu...
Indice : Dans IR si a²+b²=0, on sait des choses sur a et b

[invite93ca7f22]

d'accord, merci gg0, je ne connaissais pas cette propriété.

Cordialement.

[gg0]

Ce n'est qu'une conséquence immédiate du fait qu'un carré est positif. Et qu'il n'est nul que si c'est le carré de 0.
Tu peux en rédiger facilement une preuve.

Cordialement.