famille génératrice

invite4002ebae · 08/06/2010, 15h26

Bonjour a tous

. Voila j'ai un exercice me posant cette question
La famille ((2,0,-1) , (0,1,0) , (2,-1,-1)) est-elle génératrice de R³.

je ne sais pas du tout comment le montrer si c'est une famille génératrice ou pas. J'ai déjà lu plusieurs question similaire en disant qu'il faut des combinaison linéaire or je ne sais pas ce que sais

et cela m'agace. Si quelqu'un pourrait m'aider ce serait super sympa.

Merci

**danyvio** · 08/06/2010, 16h21

On obtient (2 -1 -1) en effectuant la combinaison linéaire suivante
= (2 0 -1) - (0 1 0)

Les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants donc ....

invite6a7988bf · 08/06/2010, 18h17

Bonjour

----------------- Voici une méthode proche de la définition, mais pas très efficace. -----------------

Rappel : une famille $\text{[math]}$ de n vecteurs $\text{[math]}$ est génératrice d'un espace vectoriel $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

Alors allons y avec un exemple :

Soit $\text{[math]}$ , voyons si elle est génératrice de $\text{[math]}$

Prenons un vecteur $\text{[math]}$ quelconque de $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ de la définition), donc $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$

Posons maintenant $\text{[math]}$

On a alors le système $\text{[math]}$

Je t'épargne les détails du calcul, on trouve alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ il existe bien des $\text{[math]}$ qui respecte cette définition et la famille $\text{[math]}$ est génératrice de $\text{[math]}$

----------------- Si tu sais travailler avec les matrices, le plus simple est de faire avec -----------------

Si on écrit la matrice $\text{[math]}$ ayant pour chaque colonne les vecteur d'une famille $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est génératrice ssi $\text{[math]}$ admet un pivot par ligne.

Exemples :

-- 1 --

$\text{[math]}$ est une famille de deux vecteurs de $\text{[math]}$

La matrice $\text{[math]}$ est la suivante : $\text{[math]}$

En appliquant le pivot de Gauss, on trouve la matrice $\text{[math]}$ et on n'a pas un pivot par ligne donc la famille n'est pas génératrice de $\text{[math]}$

-- 2 --

$\text{[math]}$ est une famille de trois vecteurs de $\text{[math]}$

La matrice donne $\text{[math]}$ qui a un pivot par ligne donc la famille est génératrice de $\text{[math]}$

----------------- Remarque -----------------

Pour générer un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ il faut au moins $\text{[math]}$ vecteurs libres. (Voir la remarque de damien.moreau1)

invite4002ebae · 08/06/2010, 21h31

donc si j'ai bien compris a chaque fois que j'arrive a trouver une relation plausible entre mes lambda et mes v alors c'est une famille génératrice pour ce qui ait des matrices j'ai aussi compris le principe maintenant il va falloir que je boss les exercices a fond

Merci, merci beaucoup vous me rendez un grand service.

Merci et passez une bonne soirée

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6a7988bf · 09/06/2010, 10h49

Envoyé par Hiruma

----------------- Remarque -----------------

Pour générer un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ il faut au moins $\text{[math]}$ vecteurs libres. (Voir la remarque de damien.moreau1)

Je voulais dire voir la remarque de danyvio désolé.

La relation qu'il a donnée montre que les vecteurs ne sont pas libre. On n'a donc au plus 2 vecteurs libres dans cette famille, ce qui est insuffisant pour générer $\text{[math]}$ .

Tu peux retrouver ceci par le calcul...

**danyvio** · 09/06/2010, 18h09

Envoyé par damien.moreau1

. J'ai déjà lu plusieurs question similaire en disant qu'il faut des combinaison linéaire or je ne sais pas ce que sais

et cela m'agace. Si quelqu'un pourrait m'aider ce serait super sympa.

Merci

Je reviens sur ce fil, car j'ai été ému par le désarroi exprimé par la phrase citée...

L'expression "combinaison linéaire" recouvre une réalité SIMPLE :

Soient des vecteurs appelés X, Y, Z ...

Une combinaison L linéaire de ces vecteurs est un vecteur qui peut s'exprimer ainsi :

L=aX + bY + cZ ... où a, b, c .. sont des coefficients réels.

C'est tout !

Ainsi il existe des théorèmes fondamentaux des systèmes d'équations linéaires, dont par exemple :

On ne change pas un système en remplaçant un vecteur par une combinaison linéaire de lui-même (avec toutefois un coeff non nul !) et des autres vecteurs.

famille génératrice