Bonjour à tous,
Connaissez vous un moyen de construire une matrice circulante à coefficients rationnels partout non nuls, et dont l'inverse est aussi une matrice circulante à coefficients rationnels partout non nuls. J'ai beau cherché toute la journée, je ne l'ai pas trouvé.
Merci d'avance.
Une piste, je ne sais pas si tu y as pensé:
Soit C une matrice qui marche et D=C^-1
Tu décomposes dans l'algebre des matrices circulante (https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_circulante) grace à la matrice J.
On note c_0, ..., c_n-1 les coefs de C et d_0, ... ceux de D.
En faisant la TF (diagonalisation via la matrice U), on trouve, si je ne me trompe pas:
Si on note chacune de ces relations (k), c'est plus pratique de regarder les nouvelles relations:
: on trouve (si je ne me plante pas):
Je ne vais pas jusqu'au bout (pas le temps), et j'ai peur d'avoir fait une faute de calcul.
Mais ça me semble très bien parti?
Bon en fait ce que j'ai fait ne sert absolument à rien.
Mais quelle est la question exact: Il faut une famille de matrice qui marche pour toute dimension?
Pour n=1 c'est pas trop dur, pour n=2 j'ai [[1,2][2,1]] et 1/3 [[-1,2][2,-1]].
Bonjour marco_renou :
Je m'excuse, je vous demande pardon, ma question est en fait, stupide, elle n'a pas de sens, on peut toujours facilement construire n'importe quel matrice avec toutes ces conditions que j'ai cité, si :
En fait, ce qui m’embrouillait au départ, est que je suis parti de la diagonalisation d'une matrice circulante, j'ai considérer :
avec :
Si on suit cette démarche, c'est difficile de tomber sur une matrice circulaire à coefficients rationnels, c'est compliqué, donc, pas besoin de compliquer les choses, il suffit de partir d'un simple prototype de matrice circulante :
Cordialement.
