Re-bonsoir
J'ai un exo sur une matrice circulante T(a,b,c), et je bloque à un endroit : voila j'ai donc
et
J'ai montré, en notant Ci les colonnes de P, que
et je dois en déduire que T est semblable à une matrice diagonalisable à préciser. J'ai bien cherché sur Internet et ils utilisent toujours un polynôme mais nous n'avons pas vu le polynôme caractéristique, alors je viens vous demander un petit conseil car je bute dessus!
Merci de votre patience
Salut,
ainsi, les colonnes des P sont des vecteurs propres de T.
que dire d'une base constituée de vecteurs propres d'un endomorphisme ?
La base est donc diagonale? mais je ne vois pas, les valeurs propres sont donc les trois coefficients que j'ai calculé non ?
Exact( enfin, une base n'est pas diagonale, mais diagonalisante pour un certain endomorphisme)
Vois-tu où on en vient ?
Bien sûr bien sûr, donc en notant Ki les coefficients tels que TCi=KiCi alors ma matrice T est semblable à D=diag(K1,K2,K3) du coup ?
Je pense avoir compris, si c'est bien ça
C'est ça. Ceci dit, encore faut-il réussir à le justifier proprement, car c'est typiquement le genre de questions où l'on sent ce qui se passe, mais dès que l'on commence à expliquer, on s'enlise.
On peut aussi le justifier par des arguments de produits par blocs.
Je pense que c'est facile à expliquer en passant par le noyau de l'application associée non ?
Le plus simple à mon sens est de montrer que les vecteurs C1,C2 et C3 sont libres, ils forment donc une base, et T est diagonale dans cette base, de valeurs propres connues.
En plus on a la matrice de passage, qui s'appelle commodément P.
