méthode de changement de référentiel pour application

[invitec94a83b8]

Bonjour à tous,

Je cherche à faire une expérience d’asservissement pour laquelle j’imagine utiliser une centrale inertielle.
L’environnement du système se présente sous la forme d’un référentiel R1 absolu (terrestre) un référentiel R2 lié au bâti du mécanisme et un référentiel R3 lié à la centrale. L’idée est de permettre un pilotage 2 axes du mécanisme (rotations autour de l’axe vertical Z (R2) « lacet » + rotations autour d’un axe horizontale Y (R2) « assiette ») par rapport à R1. Pour cela je dispose des infos de rotation exprimées de R1 vers R3 via la centrale fixée de manière aléatoire par rapport à R2 (précisions de positionnement inconnue). J’imagine donc réaliser des mesures afin d’exprimer la rotation Z (R2) et Y(R2) dans R3 et ainsi permettre de traduire R3 dans R2.

Est-ce suffisant ?
Quelqu’un a-t-il une autre idée ?

Merci d’avance.
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[KerLannais]

Salut,

Si j'ai bien compris, ta centrale inertielle peut te donner la rotation (exprimée soit avec l'équation de l'axe de rotation et l'angle, soit comme composée de de rotations selon les axes du repère cartésien à l'aide de trois angles) du référentiel suite au mouvement du référentiel selon deux axes et c'est toi qui impose les angles de ces rotations lors d'un "étalonnage" puis ensuite ce ne sera pas toi qui controlera ces rotations mais tu pourras les mesurer à l'aide de la centrale inertielle. C'est ça ? enfin sinon je ne vois pas comment tu peux procéder. Notons
la matrice de passage du référentiel au référentiel au sens où, si est le vecteur de coordonnées (d'un point ou d'un vecteur) dans le référentiel alors

Notons avec la matrice de rotation du repère selon l'axe (de ) d'un angle , c'est à dire que la nouvelle matrice de passage après rotation selon son axe d'un angle est donnée par

La matrice est fixée mais inconnue, ce que l'on peut faire c'est modifier et obtenir ou du moins la matrice de rotation qui a été appliquée à . Puisque

on a

avec ou au choix, choisi et la rotation mesurée par la centrale inertielle. Soit encore

La question est donc, sachant que l'on peut faire varier et et que le cas échéant on connaisse les matrices et correspondantes, peut-on déterminer ?

La réponse est oui et pour se faire il suffit de regarder l'axe de la rotation , s'il est différent de alors la rotation qui envoie l'axe de sur est exactement . Si l'axe de et de sont identiques alors ils correspondent à l'axe de rotation de , il suffit alors de changer pour que l'axe de et soient distincts.

(ps j'ai fait comme si tout tes repères étaient orthonormés directs, ce qui est souvent le cas en pratique)

[invitec94a83b8]

Merci KerLannais pour ta réponse.

Elle est bien détaillée et je constate que ce genre de problématique t’amuse assez… Je reviens sur quelques points de ton développement.

Tout d’abord je pense que tu as fait une erreur de notation lorsque tu appelles l’égalité suivante :Ri=Mij.Rj . Ne serait-ce pas plutôt Xi=Mij.Xj ?

Le but de cet exercice, tu l’as bien noté, est de définir la matrice de passage M23.
En suite tu utilises les matrices de rotation pour redéfinir les matrices de passage du repère absolu « R1 » vers les autres repères R2 et R3.
Je comprends par là qu’il ne peut exister une seule matrice de passage mais qu’elle est fonction de l’angle de rotation (ce que je ne comprends pas en détail).
Tu ne fais varier qu’un seul axe du repère R2 (k) alors que je pensais devoir faire varier les 3 axes de R2 pour résoudre mes équations. Point justement bloquant puisque je ne sais en faire varier que 2…

N’étant pas un habitué des matrices de rotation, je vais tenter de mettre en pratique ta méthodologie pour mettre le doigt sur ce qui peut coincer en pratique.
Je te tiendrai informé.

MonsieurT

[KerLannais]

Tout d’abord je pense que tu as fait une erreur de notation lorsque tu appelles l’égalité suivante :Ri=Mij.Rj . Ne serait-ce pas plutôt Xi=Mij.Xj ?

oui bien sûr il s'agit d'une erreur d'étourderie désolé. Le fait de ne pouvoir faire des roations que suivant deux axes n'est pas une limitation. Notons la matrice de la rotation selon l'axe avec . On a

Tu peux vérifier que

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

La règle de calcul générale lorsque l'on conjugue une roation par une autre est

où et sont les vecteurs qui dirigent les axes de rotations.

[invitec94a83b8]

Je n'avais encore jamais utlisé cet outil mathématique que je ne connaissais que par le nom... Encore merci pour tes précieuses explications!

[invitec94a83b8]

Bonjour Lekernnais,

J’ai un doute quant à ma compréhension de ton développement.

Lorsque tu dis qu’on peut faire varier M12, tu sous entends une rotation quelconque du référentiel R2 (bati) par rapport à R1 (absolu) ?

De plus je ne vois pas exactement comment tu obtiens

Le M-1(23) me perturbe et je ne sais pas si α correspond à une rotation d’un de mes pivots de R2 (rotation de R3 dans R2) ou si c’est une rotation de R2 sur R1 (rotation du bati lui-même)

Du coup je ne comprends pas bien comment du résous M23. Peux-tu stp détailler un peu plus ?

Merci à toi!

[KerLannais]

Re

Je ne sais pas si tu as besoin de considérer 3 repères. Tu as ton référentiel mobile, le référentiel fixe par rapport à lié à la centrale inertielle et tu veux déterminer la matrice de passage de à telle que si est le vecteur vertical qui contient les coordonnées d'un vecteur dans le référentiel alors le vecteur de ses coordonnées dans est donné par le produit matriciel

Si on effectue une rotation dans donnée par la matrice . Alors, si est le vecteur de coordonnées d'un vecteur avant rotation dans et les coordonnées de ce même vecteur après la rotation alors

(faire une rotation du référentiel revient à faire une rotation dans le référentiel d'un angle opposé).
Cette transformation est alors définie par une autre matrice dans qu'on obtient par changement de référentiel. On veut que

et on sait que
et
puisque



autrement dit

Puisque est une matrice de passage entre deux bases orthonormées directes c'est également la matrice de rotation. Ainsi, est la conjugaison de la rotation par la rotation et donc si on note un vecteur directeur de l'axe de la rotation de et l'angle de rotation alors est la rotation d'axe dirigée par et d'angle ( est juste la rotation inverse de autrement dit la rotation de même axe mais d'angle opposé).

Puisqu'on peut choisir comme étant égal à l'un des trois vecteurs

(même si l'on peut tourner que selon deux axes, puisque la rotation suivant le troisième axe peut s'obtenir à l'aide de rotations suivant les autres axes)
Et puisque l'on peut mesurer (la centrale inertielle indique la rotation qu'elle a subi et donc on connaît l'axe de la rotation). On peut déterminer qui est aussi (puisque c'est une matrice ortogonale) . En effet

sont les trois colonnes de la matrice et donc les trois lignes de . On a