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Changement de référentiel



  1. #1
    rommel

    Bonjour,

    J'aimerais poser quelques questions élémentaires: c'est plus rapide pour moi en ce moment de le faire que de recherher les réponses car je n'ai pas beaucoup de temps pour (très très pris par mes études qui n'ont vraiment rien à voir avec les théories dEinstein) et d'ailleurs je comprends mieux ainsi. Je veux précisément chasser un certain nombre de mes illusions puisqu'il semble qu'il y a lieu. C'est à propos des changements de coordonnées dans la relativité d'Einstein. Arretez-moi au moindre faux pas svp:

    Dans la relativité d'Einstein, les applications de R^4 transformant un système de coordonnées en un autre sont des bijections bicontinues laissant globalement invariant l'ensemble des lignes d'univers des supposées particules se déplaçant à la vitesse c (invariant relativiste).
    Ce n'est pas une définition mais des propriétés*.

    Je me pose alors la question: comment décrire les applications vérifiant les proprités*. IL est évident que les transformations de la théorie d'Einstein doivent alors vérifier les relations obtenues pour la description à effectuer. Tout le monde s'est certainement déjà posé cette question mais j'ignore les réponses (caractérisation et interprétation) connues (?).

    Le problème ainsi posé admet, moyennant quelques considérations topologiques (les ensembles sur lesquels sont définis les transformations sont des ouverts, différentiabilité des transformations), une unique solution: Les transformations sont les solutions de l'équation (1) donnée sur www.ifrance.com/physiques-maths-nanarommel , la relativité universelle. Je retrouve les formules de Lorentz comme tranformations entre observateurs dont le mouvement relatif est constant.

    Les changements de coordonnées en relativité générale vérifient-elles cette équation? sinon pourquoi exactement.

    Quand on veux déterminer les transformations entre deux système dont le mouvement relatif est constant, on se donne leur vecteur vitesse relatif (tris composante) et on explicite les formules de Lorentz. Dans le cadre de ma théorie, on se donne un quadrivecteur mouvement entre les deux observateur: ce quadrivecteur est, avec les formules que nous connaissons, (E/m,P/m) o`u (E,P) est l'énergie-quantité de mouvement d'une particule au repos pour l'un des observateurs, m est la masse au repos de cette particule.
    Si on veut écrire les transformations entre deux observateurs en rotation, alors en se donnant non plus le vecteur rotation habituelle w mais un quadri-vecteur approprié, on les obtient comme unique solution de (1).

    Plus généralement, (1) nous donne les transformations entre deux observateurs dont le mouvement relatif est quelconque (constant,accéléré, ...) sans redéfinir la géométrie. En se souvenant que les transformations entre observateurs de la théorie d'Einstein devaient vérifier (1), on conclut que ces transformations sont précisément les solutions de (1). Est-ce le cas? sinon la théorie d'Eintein est remise en cause puisque ces conséquences ( (1) particulièrement ) sont en contradiction avec elle n'est-ce pas?

    Une conséquence de (1) qui m'intéresse particulièrement est qu'elle me permet de définir la notion de masse de façon formel comme je l'ai fait avec celle d'observateur et référentiel dans mon site. La masse n'est plus, comme la charge (qui le démeure pour très peu de temps encore), une propriété des 'particules' dont nous sommes réduit au constat (c'est ce que je pense de nos connaissances actuelle): c'est un autre sujet.

    Autre préocupation: quelle la définition exacte de 'système d'inertie' je n'aimerais pas l'utiliser à tord

    merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Rincevent

    bonjour,


    juste une remarque:

    Si on veut écrire les transformations entre deux observateurs en rotation, alors en se donnant non plus le vecteur rotation habituelle w mais un quadri-vecteur approprié, on les obtient comme unique solution de (1).
    le "vecteur rotation" que l'on utilise en mécanique Newtonienne tridimensionnelle n'est pas un vrai vecteur. C'est un pseudo-vecteur (de même que le champ magnétique). Cela veut dire que c'est un champ vectoriel qui ne vérifie pas les propriétés usuelles de transformation lorsque l'on fait des changements de référentiels. Et ça vient simplement du fait que c'est un objet qui appartient au dual (au sens étoilé) de l'espace vectoriel considéré. Or, le dual étoilé de R^3 lui est isomorphe, ce qui amène la confusion souvent faite. Mais le dual de R^4 (ou de l'espace de Minkowski) ne lui est pas isomorphe...

    en pratique, ça donne quoi: ce que l'on nomme "vecteur de rotation" est en fait une "matrice antisymétrique" pouvant agir sur les vecteurs. Or, on montre qu'une matrice 3x3 antisymétrique n'a que 3 composantes indépendantes. Ce qui montre que l'espace des matrices 3x3 antisymétriques est isomorphe à R^3. En 4 dimensions, c'est pas pareil: une matrice 4x4 antisymétrique a 6 composantes indépendantes. Ainsi, tu ne peux pas "généraliser le vecteur rotation" en un "quadrivecteur" de rotation.

    dernière remarque sur ce sujet: dans le cas de l'espace-temps, on montre que les 6 composantes indépendantes de cet opérateur antisymétrique peuvent être regroupées comme un vecteur de R^3 et un pseudo-vecteur de R^3. Un exemple amusant et pratique est celui où l'opérateur s'appelle F et est défini à partir du "quadri-rotationnel" du quadripotentielvecteur A, qui n'est autre que le potentiel électrique V associé au potentiel-vecteur magnétique A (avec une flèche). Il s'avère en effet que la partie vectorielle de F est E et la partie pseudo-vectorielle B.

    sinon, plutôt que de répondre à ta question sur les changements de référentiels, ce qui reviendrait à te faire un cours d'intro à la relativité alors qu'il en existe de nombreux, je vais te donner une adresse où tu pourras trouver à la fois un très bref cours que je nommerais "survol de" plutôt qu'"introduction à" la relativité générale ainsi qu'un cours plus long qui est lui une vraie introduction. Le site est

    http://www.lpthe.jussieu.fr/DEA/

    le survol est le cours de Laurent Baulieu (53 pages) et le cours celui de Sean M. Caroll (231 pages), mais pour ceux intéressés il y a plusieurs autres notes de cours de DEA sur des sujets assez variés (en particulier une très bref introduction à la théorie quantique des champs qui est une traduction d'un cours donné par Bell au CERN lors d'une école d'été).

  4. #3
    rommel

    Bonjour,

    merci pour le lien. Je vais lire j'espère avoir déjà le niveau (mathématique) pour ne pas traîner car licence et DEA... Avant, j'aimerais faire une précision:

    < Si on veut écrire les transformations entre deux observateurs en rotation, alors en se donnant non plus le vecteur rotation habituelle w mais un quadri-vecteur approprié, on les obtient comme unique solution de (1).

    En fait, je n'ai pas voulu détailler les choses. Pour deux observateurs en rotation (relatif), il ne peut en aucun cas s'agir d'un quadri-vecteur car sinon, elle définirait (d'après ce que j'ai dit) une transformation de Lorentz ce qui est absurde. Si tu regarde sur le site, tu constate que c'est un quadruplet de fonctions qui détermine une solution de (1) (lorsque ces fonctions sont toutes des constantes, on dit que le mouvement entre observateur est uniforme et on a Lorentz).

    > ce que l'on nomme "vecteur de rotation" est en fait une "matrice antisymétrique" pouvant agir sur les vecteurs.

    Avant même de te lire (à l'instant), sans savoir que ce que je viens de citer est considéré, je me doutais bien que dans le cadre de ma théorie, c'est une matrice antisymétrique qui décrirait la rotation. En tout cas, de ce qui est dit dans mon site, c'est un quadruplet de fonctions non toutes constantes qui définit la transformation (pour la relation d'équivalence naturelle). Je ne me suis pas donné la peine de cherher à expliciter car j'ai pensé que existence et unicité + propriétés des solutions qu'on peut déduire de l'équation suffisent à 'tester' la théorie (j'ai pensé qu'il serait inutile pour moi de continuer si ça ne tient déjà pas la route ). A prospos de tenir la route, j'en suis de plus en plus convaincu :? car personne ne me dit 'tel chose ne va pas' or ce ne sont pas les points de comparaisons avec la théorie acceptée qui manque (de même je suis de moins en moins sûr de moi car ce n'est aussi évident à comprendre (à accepter) comme je l'ai pensé au départ). Bizarre non?

  5. #4
    Rincevent

    Je vais lire j'espère avoir déjà le niveau (mathématique) pour ne pas traîner car licence et DEA...
    la différence de niveau entre licence et dea n'est pas toujours très grande (en tous cas sur certains sujets): il faut plus voir ça comme une progression sur de nombreux sujets en même temps. Donc pour chacun d'entre eux, la différence peut ne pas être très importante si tu as déjà les bases. Et par ailleurs, le cours de Baulieu, je suis même pas certain que ça soit dea: ça ressemble plus à un truc niveau 3ème ou 4ème année qu'il a donné à l'X.

    Si tu regarde sur le site, tu constate que c'est un quadruplet de fonctions qui détermine une solution de (1) (lorsque ces fonctions sont toutes des constantes, on dit que le mouvement entre observateur est uniforme et on a Lorentz).
    le groupe de Lorentz n'est pas paramétré par 4 variables. C'est le groupe SO(3,1) qui est de dimension 6 (3 angles de rotation spaciale et 3 vitesses possibles de translation).

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rommel

    Bonjour,

    J'ai constaté. Le cours de relativité général, moins peut-être les développement des appliquations, est à la porté du grand nombre.

    >le groupe de Lorentz n'est pas paramétré par 4 variables.

    Beaucoup de rigueur! ca me plait. Seulement tout le monde sait écrire les formules de Lorentz avec 3 paramètre ( 'vecteur' vitesse). Je ne peux que le dire: dans mon site, j'ai précisé `(et démontér) que c'est l'un cas où le quadruplet de fonction (constantes ici) peut se ramener à un triplet.

    Je remarque en lisant la rela. gén qu'il s'agit, lorsque l'observateur est par exemple accéléré, de racorder des systèmes de coordonnées localement eucludiens. Tout ça est très cohérent c'est vrai. Mais pour me comprendre, on a pas besoin d'étudier cette théorie.

    Historiquement, on a tout naturellement essayé de décrire les transformations entre observateurs accélérés en différentiant les formules de Lorentz. Seulement; ce procédé, comme on le sait, ne donne 'rien' pour certaine raisons: je dis que les raisons d'Einstein ne sont pas les bonnes. On dvrait différentier non pas directement le formules de Lorentz, mais l'équation dont elle est solution unique. Il apparait alors un coefficient local de 'courbure'
    cette équation s'obtient, comme je le démontre, avec les m^mes hyp que celles de la rela. restreinte.

  8. #6
    rommel

    Bonne et heureuse année 04 à tous et à toutes.

    Je vais donner une approche plus explicative (que celle du site) pour l’obtention des formules de Lorentz et mettre ainsi en évidence différentes possibilités de généralisation. En fait, je dirais moins formellement la même chose en insistant ailleurs. Les mathématiques ne sont pas un outil d’approche de la réalité physique des phénomènes, mais la physique est le moyen de visualisation de la nature mathématique des êtres.


    On se donne un ensemble U d’évènements sur lequel on définit une application bijective H à valeur dans R^4 : nous dirons que l’application H est un observateur de U. On appellera (pour le moment) ‘observateur’ tout application ‘S’ définie sur U et à valeur dans R^4 telle que So(H^-1) soit une bijection continue et à réciproque continue qui transforme la trajectoire d’un photon en celle d’un autre.

    Parenthèse (3 aspects pour résumer) :
    On désigne par x = ‘[x(i)]i=1,4’ un élément de R^4. Disons que les trois premières composantes coordonnent l’espace et la quatrième le ‘temps’. Un photon est une particule dont le module de la vitesse en tout lieu est c (on appelle vitesse d’une particule le vecteur c*[dx(i)/dx(4)]i=1,3 ). ‘x – y’ = ‘[x(i) – y(i)]i=1,4’.
    1) U a un caractère absolu (indépendant des observateurs). En un élément de U se produit un ou plusieurs phénomènes qui peuvent dépendre de l’observateur (présence d’un champ uniquement électrique pour l’un et électromagnétique pour l’autre par exemple).
    2) Un physicien désigne (coordonne) tout évènement par quatre réels (trois d’espace et un de temps) et tout élément de R^4 est la coordonnée d’un événement. La transformation de passage d’un observateur à un autre est bijective et continue.
    3) la vitesse du photon est un invariant universelle. Pour le moment, la trajectoire d’un photon est une droite L = { [x(i)]i=1,4 } tel que pour x,y dans L, [( x(i) – y(i) ) / ( x(4) – y(4) ) ]i=1,3 est indépendant de x,y. fin de la parenthèse.


    Les formules de Lorentz :

    Définition : Deux observateurs S et S’ sont en translation uniforme ou que l’état de S’ dans S est indépendant des évènements si pour a,b,c,d éléments de O,
    [ S(a) – S(b) = S(c) – S(d) ] -> [ S’(a) – S’(b) = S’(c) – S’(d) ]

    Conséquences (équivalence) :
    De 2), on déduit que la transformation S’o(S^-1) est un isomorphisme. Soit (Fij)ij sa matrice dans une base orthonormée. On déduit de 3) que (Fij)ij est solution de l’équation : ^tFF = /F/² J + 2(Fi4*Fj4) , /F/ non nul (*)
    Propriétés : Si y = F(x), le calcul donne
    ds² = [(y(1))² + (y(2))² + (y(3))² - (y(4))²] = /F/² [(x(1))² + (x(2))² + (x(3))² - (x(4))²]

    Notion de référentiel :
    Soit S et S’ deux observateurs. Si S’o(S^-1) est une la composée d’une isométrie sur les trois premières coordonnées et l’identité de R^4 (changement classique de coordonnées), il est évident que le même physicien peut utiliser indifféremment S ou S’. De même, s’il existe une constante µ tel que S’ = µS, il est évident qu’un physicien peut utiliser indifféremment S ou S’ et on dit que S et S’ appartienne au même référentiel. Un référentiel est une classe classe d’équivalence pour une relation d’équivalence définie sur l’ensemble des observateurs. La relation d ‘équivalence à considérer (qui met en évidence l’identité de l’étude des phénomènes) est donnée par la condition :
    Il existe µ tel que pour tout a,b dans U, N[S(a) – S(b)] = µ N[S’(a) – S’(b)] , N étant une norme sur R^4.

    Conclusions : On montre que le quadrivecteur (Fi4)i=1,4 ou, il y a équivalence dans ce cas, (Fi4/F44)i=1,3 détermine toute solution. On peut retrouver (en calculant) les formules de Lorentz comme solution de (*) et on démontre que toute autre solution est équivalente (appartient au même référentiel) à une formule de Lorentz qui est par conséquent solution ‘unique’ de (*). Le quadrivecteur (Fi4)i=1,4 ou, il y a équivalence dans ce cas, (Fi4/F44)i=1,3 détermine toute solution.


    Généralisation1 : on considère le ds² pour la forme explicite des formules de Lorentz (/F/ = 1), on remarque les coefficient (1,1,1,-1), et on introduit un tenseur métrique : relativité générale

    Généralisation2 : On complète ce qui précède par les définitions suivantes
    - On appellera ‘observateur’ tout application S définie sur une partie O de U et à valeur dans R^4 telle que So(H^-1) soit une bijection continue et différentiable ( et à réciproque continue et différentiable) qui transforme la trajectoire d’un photon en celle d’un autre.
    - La trajectoire d’un photon n’est pas forcément linéaire : on peut imaginer un dispositif optique reflétant périodiquement le photon de façon à zigzaguer sa trajectoire et ce, à une échelle aussi petite qu’on le souhaite. On obtient à l’échelle de l’infiniment petit que la trajectoire d’un photon est une courbe différentiable { [x(i)]i=1,4 tel que ‘[x(i)]i=1,3’ = u(x(4)) et u différentiable } dont la norme de la pente ( [dx(i)/dx(4)]i=1,3 ) en tout point est 1.
    Remarquez que ces hypothèses sont valables en relativité générale.

    Sous ces nouvelles hypothèses, S et S’ étant deux observateurs, 3) donne que la transformation
    f = S’o(S^-1) définie sur un domaine D est solution de l’équation
    ^tF(x)F(x) = /F(x)/² J + 2[Fi4(x)*Fj4(x)] , /F(x)/ non nul pour tout x dans D (**). (Fij(x)) est la matrice Jacobienne de f dans une base orthonormée (c’est plus compliqué dans le cas générale qui n’est pas restreinte par cette condition). /F(x)/ est le Jacobien de f au point x.

    La relation d’équivalence qui définie les référentiels (telle que dans le site) a une structure locale. Toute solution de (**) ou tout observateur est déterminée par la donnée du quadruplet de fonctions [Fi4(x)]i=1,4 qu’on appellera ‘ mouvement de f ’. En mécanique, ce sera l’impulsion-énergie d’une particule : autre sujet.
    La question des changements de système de coordonnées est résolu par (**). Contrairement à ce que j’ai dis, la matrice de transformation (même entre observateurs en rotation) ne peut en aucun cas être antisymétrique car F44(x), élément de la diagonale, est toujours non nul.

    Je pense avoir vidé mon sac et même mes poches.

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