Extrapolation à 6 dimensions

[tommath]

Bonjour,

Tout d'abord désolé pour le titre surement incorrect mais c'est ce qui se rapproche, selon moi, le plus de mon problème.

Je voudrais trouver les coefficients pour que la courbe d'équation se "rapproche" de plusieurs points fixés de coordonnées .

Je ne sais pas du tout vers quel outil/méthode me tourner, je prend donc toute les pistes que vous pourrez me fournir. Les logiciels de type matlab ou mapple peuvent-ils résoudre ce genre de problème ?

C'est une première étape car il me faudrait au final résoudre ce problème pour une équation avec 8 coefficients et un espace à 6 dimensions.

Merci !

Cordialement TM
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[Resartus]

Bonjour,
La difficulté est de savoir que qu'on veut minimiser (c'est à dire ce qu'on appelle "se rapprocher" de x1, X2, X3.)

Si on suppose qu'on sait mesurer x1 et x2 avec précision, que l'erreur de mesure ne porte que sur x3, et que l'erreur commise sur cette mesure est à peu près "gaussienne" (c'est le cas le plus habituel), on peut faire l'optimisation la plus simple qui est celle dite "des moindres carrés" sur X3.

Cela revient à chercher les a1,a2,a3,a4 tels que que la somme sur tous les échantillons de (x3ic-x3i)² (où x3ic est le calcul fait avec les valeurs x1i et X2i correspondant au ième échantillon) soit minimale.
Je ne connais pas assez les logiciels maple ou matlab, mais je suppose qu'ils doivent avoir des modules qui font cela (chercher "moindres carrés" ou 'least squares").
Il n'est pas non plus trop dur de programmer cela avec le solveur excel ; trouver les a1, a2, a3, a4 qui minimisent la somme ci-dessus

On peut faire la même chose en supposant que ce sont X2 et X3 qui sont connus avec précision et X1 est mesuré avec erreur, car on peut alors exprimer X1 en fonction de X2 et X3 et faire des moindres carrés sur x1.

L'utilisation des moindres carrés est beaucoup moins justifiée si on veut l'appliquer à X2, car les équation en X2 ne sont plus linéaires (X2 apparait au numérateur et en dénominateur). Mais cela pourrait marcher cependant si les valeurs sont groupées et assez éloignées de zero .
Même principe : calculer chacun des x2ic (ce qui demande la résolution d'une équation du second degré) et optimiser la somme des carrés des différences

Enfin, si on veut la généralité maximum, il faut attribuer des poids différents aux erreurs sur chacune de ces trois variables (en fonction de ce qu'on sait sur la précision des mesure de chacune), et
la réponse optimale sera alors intermédiaire (une combinaison linéaire) entre les trois solutions trouvées précédemment.

[minushabens]

L'utilisation des moindres carrés est beaucoup moins justifiée si on veut l'appliquer à X2, car les équation en X2 ne sont plus linéaires (X2 apparait au numérateur et en dénominateur).

petite précision: on peut très bien ajuster un modèle non linéaire par moindres carrés. On n'a pas en général de solution analytique et il faut employer une procédure itérative.

[Dlzlogic]

Bonjour,
On peut aussi poser le problème de la façon suivante
On dispose de N mesures ou observations avec les valeurs x1, x2, x3.
On cherche à écrire une fonction f(x1, x2, x3) qui comportera les paramètres a, b, c, d.
Si on se fixe la fonction, il reste à trouver les paramètres a, b, c, d les meilleurs (cf méthode des moindres carrés).
J'ai mis au point un outil qui calcule cela, dans le cas général, mais dans le cas présent, comme la formule est précisée, il faudra faire un calcul particulier.
Le calcul littéral pour écrire les 4 équations linéaires en a, b, c et devra être fait sur papier. On obtiens un système linéaire qui se résout facilement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[tommath]

Merci pour toute vos réponse qui m'ont bien aidé. Au final, j'ai utilisé excel pour minimiser le terme des moindres carrés. Avec quelques points expérimentaux en référence, je teste les coefficients a un par un pour trouver le nombre qui minimise le terme des moindres carrés puis une fois tout les coefficients testés, je recommence jusqu'à avoir la précision voulue (merci les macro).

Ca devrait suffire pour mon travail !

Merci bien !

Cordialement, TM