Etat des lieux des mathématiques

[anthony_unac]

Bonsoir,

Partant du principe que tous les résultats mathématiques connus (et simples en terme de rédaction) peuvent s'énoncer avec un nombre de caractères inférieurs à une certaine limite et que chaque caractère présent dans cette rédaction est connu et donc limité. J'imagine que tous les résultats mathématiques connus aujourd'hui et reconnus demain sont en quantité limité donc définissables et donc tendent vers leurs exhaustivité (à moins de ne définir de nouveaux caractères relatifs à de nouveaux outils et/ou axiomes).
Derrière ce raisonnement quelque peu naïf, je cherche à justifier le manque de résultats mathématiques que nous connaissons depuis quelques décennies notamment dans le domaine de l'arithmétique ou on arrive au stade ou il y a plus de conjectures que de preuves en bonnes et dues formes.


Cordialement
Anthony
-----

[Médiat]

Bonsoir,

Vous confondez fini et borné ; il est facile de voir que pour toute formule de l'arithmétique de Peano (par exemple) de longueur n, on peut fabriquer un formule de même valeur de vérité, mais plus longue.

[Seirios]

je cherche à justifier le manque de résultats mathématiques que nous connaissons depuis quelques décennies

Vraiment ? Une telle affirmation nécessite sans doute quelques arguments à l'appui. Pour ma part, ce n'est pas mon impression (mais mon domaine de prédilection n'a rien à voir avec l'arithmétique).

[Deedee81]

Salut,

Vraiment ? Une telle affirmation nécessite sans doute quelques arguments à l'appui. Pour ma part, ce n'est pas mon impression (mais mon domaine de prédilection n'a rien à voir avec l'arithmétique).

Idem. Rien qu'en regardant sur Arxiv (incluant la part math et physique théorique) ça n'a jamais cessé de croître. Plus de 9000 articles avec des résultats chaque mois.
Faudrait des statistiques plus ciblées, mais je suis persuadé que c'est vrai même en arithmétique.
Peut-être voir ici : http://www.scimagojr.com/journalrank.php?category=2601

D'autant qu'on ne fait plus d'arithmétique seule dans son coin (ou fort peu), de nombreux ponts ont été jetés entre différents domaines et les progrès sont constants et extrêmement nombreux.

Je ne sais pas du tout d'où vient la curieuse impression d' Anthony.

Anthony, as-tu consulté les sites où sont déposés des articles de mathématiques pour estimer qu'il y a peu de résultat actuellement ? Si non, c'est pas étonnant que tu croies qu'il y a peu de résultat . Et si oui, comment avec les milliers de publications par mois peux-tu penser qu'il y a un manque de résultats depuis quelques décennies ????

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

On n'a pas démontré un truc comme le théorème de Fermat dans les "dernières décennies" ? Fait pas mal de choses avec les courbes elliptiques ?
Il y a aussi eu des progrès récents sur la conjecture de Goldbach également (Tao en 2012 par ex)

[Deedee81]

On n'a pas démontré un truc comme le théorème de Fermat dans les "dernières décennies" ? Fait pas mal de choses avec les courbes elliptiques ?
Il y a aussi eu des progrès récents sur la conjecture de Goldbach également (Tao en 2012 par ex)

Et encore. Ca ce n'est que quelques trucs. Il n'y a pas que les Grandes Conjectures dans la vie (des maths)

J'ai pas mal potassé les algèbres ces temps ci. Et dans pas mal d'articles, les résultats étaient relativement récents (ne fut-ce que la classification des algèbres de von Neumann par Alain Connes).

[pm42]

Et encore. Ca ce n'est que quelques trucs. Il n'y a pas que les Grandes Conjectures dans la vie (des maths)
J'ai pas mal potassé les algèbres ces temps ci.

Oui mais je me limitais aux résultats connus et dans l'arithmétique.

[bongo1981]

Ben quand on se limite aux résultats connus, on se fait une fausse image de la discipline. Par exemple si on regarde que les problèmes de l'institut Clay, et bien depuis Perelman, plus rien... cela ne veut pas dire que les mathématiques n'avancent pas.
Pour cela, il suffit juste de voir les médaillés Fields. Et puis plus on creuse, et plus ça devient technique et incompréhensible au non spécialiste. Par exemple dernièrement il y a eu la classification des groupes finis, qui je suis sûr a des répercussions en arithmétique.

De même on peut faire la même remarque en physique. Le problème le plus connu, ça doit être l'unification des forces, alors ça n'avance pas ? Et bien... il y a pleins de choses qui se font et à moins de baigner dedans, on ne le voit pas trop.

Je pense qu'il suffit de voir le nombre de chercheurs. Il n'y a jamais eu autant de mathématiciens. Quantité ne rime pas avec qualité, mais... il suffit de voir le nombre de théorème démontré chaque année.

edit : bon la conjecture de Riemann sur la fonction zeta... j'attends la démo

[pm42]

Ben quand on se limite aux résultats connus, on se fait une fausse image de la discipline.

Dans le cas présent, cela permettait de montrer que contrairement aux affirmations du primo-posteur, on avait fait beaucoup de progrès en arithmétique puisqu'il en parlait "notamment".
Je n'ai donc pas parlé des problèmes de l'institut Clay qui ne sont pas spécialement de l'arithmétique.

[Deedee81]

Salut,

on ne le voit pas trop.

Un autre bon exemple est la recherche sur l'I.A. Dans les années 60/70 il y a eut une forte poussée avec d'énormes espoirs (médiatisés). Puis.... plus rien. En apparence du moins (les approches initiales étaient souvent combinatoires et ils se sont vites heurtés au mur de la complexité).

Récemment, il y a eut des coups d'éclats (mérités) avec le deep learning.

Mais ça ne veut pas dire qu'il n'y a rien eut ou peu s'en faut (genre deep blue contre Kasparov) entre les deux. La recherche a continué à avancer progressivement. Et ce n'est que lorsqu'elle a atteint une certaine maturité que des résultats médiatiques sont apparus. Mais il faut être dedans pour le voir.

Ceci dit, si on n'est pas dedans :
- Soit on fait quelques recherches ou on pose des questions pour connaitre "l'état de l'art"
- Soit on ne fait pas d'affirmation sur ce qu'on ne connait pas ou avec toutes les réserves d'usage (on dit pourquoi, on emploie le conditionnel, on le met sous forme de question,...)
C'est toujours un peu surprenant de voir quelqu'un qui fait une affirmation totalement fausse avec autant d'aplomb.

C'est comme si je disais : aucun progrès n'a été fait en linguistique depuis l'étude de l'indo-européen. Oh ! Qu'est-ce que j'en sais ? Je n'y connais rien moi dans ce domaine.
(en fait, je lis des articles de temps en temps et tout en étant assez ignare dans ce domaine, je sais très bien que ça avance )

[Seirios]

Par exemple dernièrement il y a eu la classification des groupes finis, qui je suis sûr a des répercussions en arithmétique.

Peut-être parles-tu des groupes finis simples ? Cela dit, la "preuve" s'étend sur tellement d'articles écrits par tellement d'auteurs qu'elle n'est pas encore acceptée par tous.

[Deedee81]

Salut,

Peut-être parles-tu des groupes finis simples ? Cela dit, la "preuve" s'étend sur tellement d'articles écrits par tellement d'auteurs qu'elle n'est pas encore acceptée par tous.

Elle est encore en cours de relecture il me semble.

Ceci dit, on peut très bien ne pas encore pleinement approuver la "preuve" complète mais parfaitement approuver certaines parties. Et ces parties peuvent avoir des applications.

[ansset]

Bonsoir,

Partant du principe que tous les résultats mathématiques connus (et simples en terme de rédaction) peuvent s'énoncer avec un nombre de caractères inférieurs à une certaine limite et que chaque caractère présent dans cette rédaction est connu et donc limité. J'imagine que tous les résultats mathématiques connus aujourd'hui et reconnus demain sont en quantité limité donc définissables et donc tendent vers leurs exhaustivité (à moins de ne définir de nouveaux caractères relatifs à de nouveaux outils et/ou axiomes).
Derrière ce raisonnement quelque peu naïf,........

indépendamment du sujet, il y a bien plus que de la naïveté, il y a une erreur de logique qui se veut déductive. voire plusieurs......
plus une incongruité :
comment pourrait on définir ce qu'on saura demain ?

[pm42]

Oui. Une autre erreur est de dire "fini" = "on en verra le bout". Si fini veut dire qu'il faut 1000 milliards d'années à 1 par nanosec, cela devient inatteignable.

Ceci dit, j'ai l'impression que le primo-posteur a disparu.