Précomplexité et involution contrariée

[invite363c0a61]

Bonjour à tous.
C (resp. R) désignera le corps des nombres complexes (resp. réels), ev:= espace vectoriel, et id est l'application identique de E.
''Soit E un R-ev. On dira que E est précomplexe s'il existe sur E une structure de C-ev qui, par restriction du corps des scalaires, induit la structure de R-ev.
Ainsi, montrer que:
E est précomplexe si et seulement si il existe un R-endomorphisme sur E tel que f²=-id.''

Quant à montrer que: "si E précomplexe alors il existe f²=-id'', je pose f(x)=ix où x est dans E et i l'unité imaginaire. Le reste de la preuve, je ne démarre pas. Comment construire la structure de C-ev? Devrais-je raisonner par contraposée (j'ai essayé, sans succès)? J'ai vraiment besoin d'un de vos trucs, vos artifices... Je bloque, merci de m'aider!
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[invite9dc7b526]

j'ai pas vérifié mais une idée pourrait être: si E est un R-ev et f R-linéaire telle que ff=-Id, pour z=a+ib et x dans E tu poses zx=ax+bf(x)

[invite363c0a61]

Bien merci.
Je vous prie de m'excuser de n'avoir pas précisé que f² désigne la composition de l'endomorphisme f par lui-même. J'ose croire que vous l'avez considéré.
Voudriez-vous bien m'expliquer l'impact de f²=-Id à la "pré-complixité" de E? En prenant la multiplication externe telle que vous me l'avez définie et en conservant l'addition canonique de End(E) on a la structure de C-ev qui, par restriction des scalaires, donne la structure de R-ev. Mais bon, j'ai l'impression que ça marche pour un f quelconque de End(E).

[gg0]

Bonjour Soel46.

Il n'est pas nécessaire d'épiloguer, il faut faire des maths :
"Voudriez-vous bien m'expliquer l'impact de f²=-Id à la "pré-complixité" de E?" rédige la preuve, tu verras tout de suite.
" j'ai l'impression que ça marche pour un f quelconque de End(E)." Prouve-le (*).

Cordialement.

(*) et comme ta preuve ne fonctionnera pas, tu comprendras ...

NB : On attend maintenant une preuve, ou un début de preuve construit. C'est ton exercice, c'est à toi de faire. On pourra t'aider à continuer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite363c0a61]

Je vous prie de m'excuser. En fait, j'ai jamais pris le temps de tout poser sur papier (je faisais tout de tête et à la va-vite). Je viens de tout réaliser... Pardonnez-moi, il faut que je sorte des vacances! Mille mercis.