Quelques reflexions qui me frappent à l'esprit.

invitecbade190 · 05/09/2016, 00h55

Bonjour,

Lorsqu'on se place dans la catégorie $\mathrm{ev}_k$ des $k$ - espaces vectoriels et applications $k$ - linéaires.
existe -il un lien entre le trois faits suivants :
$1$ - $A \otimes X \simeq B$ admet à isomorphisme près, un objet $X = \mathrm{Hom}_k ( A , B ) \in \mathrm{ev}_k$ comme solution dans $\mathrm{ev}_k$ pour tout $A , B \in \mathrm{ev}_k$ .
$2$ - $X = \mathrm{Hom}_k ( A , B ) \in \mathrm{ev}_k$ est solution d'un problème universel dans $\mathrm{ev}_k$ .
$3$ - $\mathrm{Hom}_k ( A \otimes X , B ) \simeq \mathrm{Hom}_k ( A , \mathrm{Hom}_k ( X , B ) )$ pour tout : $A , B \in \mathrm{ev}_k$ ( i.e : $A \otimes X$ est adjoint à gauche de $\mathrm{Hom}_k ( X , B )$ ).

Dans la catégorie : $\mathrm{ev}_{ \mathbb{Q}$ :
On sait que : $\mathbb{Q} \otimes \mathbb{C} = \mathbb{C}$ .
est ce que : $\mathbb{Q} \otimes \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} - \mathrm{lin}} ( \mathbb{C} , \mathbb{Q} ) = \mathbb{Q}$ ?

Merci d’avance.

invitecbade190 · 05/09/2016, 13h57

Par rapport à la question 1 du premier message, et pour faire court :
Ce que je cherche à comprendre :
est ce que le concept de solution d'un problème universel en langage des catégories dérive de la notion de solution d'une équation algébrique comme : $x+1 = 0$ par exemple ?
J'ai envie de dire oui, par exemple le point $3$ ( Voir le message précédent ) stipule que :
$3$ - $\mathrm{Hom}_k ( A \otimes X , B ) \simeq \mathrm{Hom}_k ( A , \mathrm{Hom}_k ( X , B ) )$ pour tout : $A , B \in \mathrm{ev}_k$ ( i.e : $A \otimes X$ est adjoint à gauche de $\mathrm{Hom}_k ( X , B )$ ).
Si on se restreint aux morphismes bijectives, on obtient :
$3$ - $\mathrm{Iso}_k ( A \otimes X , B ) \simeq \mathrm{Iso}_k ( A , \mathrm{Hom}_k ( X , B ) )$ pour tout : $A , B \in \mathrm{ev}_k$ ( i.e : $A \otimes X$ est adjoint à gauche de $\mathrm{Hom}_k ( X , B )$ ).
C’est à dire que : $A \otimes X \simeq B \ \ \Longleftrightarrow \ \ A \simeq \mathrm{Hom}_k ( X , B ) ) \simeq B^X$ qui dérive de l'équation algébrique simple : $ax = b \ \ \Longleftrightarrow \ \ a = b^x$ qui n'a pas de sens de point de vue logique.
Donc, cette équation ne correspond pas à mes souhaits, puisque, je cherche si ça a un lien avec le point 1 du message précédent qui est que :
$1$ - $A \otimes X \simeq B$ admet à isomorphisme près, un objet $X = \mathrm{Hom}_k ( A , B ) \in \mathrm{ev}_k$ comme solution dans $\mathrm{ev}_k$ pour tout $A , B \in \mathrm{ev}_k$ .
et qui correspond à l’équation algébrique simple : $ax = b \ \ \Longleftrightarrow \ \ x = a^{-1} b$ .
donc, est ce construire à isomorphisme près la solution d'un problème universelle revient à chercher une solution à une équation algébrique dans une catégorie ?

Merci d'avance.

Quelques reflexions qui me frappent à l'esprit.

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