Somme Euler

[invite99b052d5]

Bonjour,
je dois calculer la somme cos(2k+1) pour k allant de 1 à n
Pour cela j'aifait la formule d'euler : = 1/2[e^(i2k+1)+e^(-i2k+1)
sauf que là je suis bloquée , comment faire ?
merci
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[invitecbade190]

Bonjour,

On pose :




avec : pour tout .
est une fonction additive ( i.e : et pour tout et pour tout ) et s'appelle, la partie réelle du nombre complexe : .
Après, tu appliques la formule : .

Cordialement.

[invitecbade190]

Pardon, c'est faux ce que j'ai écrit. ça n'aboutit pas cette méthode. Je réfléchis encore.

[invitecbade190]

Ou, c'est la bonne méthode. Poursuis le calcul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Isa0407.

Ta méthode peut fonctionner, tu factorise le 1/2, puis tu as deux séries géométriques, que tu peux ramener à une fraction. Si k commençait à 0, tu pourrais même avoir une seule série géométrique.
Si tu ne comprends pas mes explications, essaie avec n=2 ou n=3 en développant la somme.

Bon travail !

[invite99b052d5]

gg0 , j'ai déjà factorisé par 1/2 mais après avec les suites je ne vois pas trop comment faire
centouf , après comment tu calcules re(e^i) ?

[ansset]

bonjour isa:
en prenant ta première somme

la somme est bien une suite géométrique.
tu peux ensuite soit traiter les deux suites séparément soit les regrouper.

[invite99b052d5]

d'accord et ensuite je fais comme a dit chentouf pour (e^(2i))^k = 1-e^(2i)(n+1)/1-e^2i ?

[ansset]

oui, attention la formule telle qu'écrite est bonne quand on part de k=0 , ta somme elle ( celle que tu a écrite commence à 1 )
il faut donc soustraire le e(0) soit 1

[invite99b052d5]

d'accord donc je fais (e^(2i))^k = 1-e^(2i)(n+1)/1-e^2i - 1

[ansset]

oui, attention aux parenthèses et aux ^ !!!!
c'est
(1-e^(2i)^(n+1))/(1-e^(2i)) - 1
que tu peux réduire au même dénominateur si tu veux traiter les deux suites séparément.
mais tu peux commencer par faire l'autre et voir la somme.
maintenant je te laisse travailler ,

[ansset]

n'oublie pas que tu avais un e(i) en facteur de la première.

[invite99b052d5]

ça marche !
par contre pour l'autre somme avec le - , c'est (e^(-i)) ou je le mets à (e^(-2k+1)) ?

[ansset]

de même tu le mets en facteur:


à la fin, tu peux vraiment simplifier ce que tu trouves.

[invite99b052d5]

Ensuite j'ai trouvé 1/2((e^i)*((1-e^(2i)^(n+1))/(1-e^(2i)) - 1) + (e^(-1))*((1-e^(-2i)^(n+1))/(1-e^(-2i)) - 1)
du coup ensuite je développe le 1/2 ?

[gg0]

Ta somme est un réel, il te faut simplifier pour l'écrire de façon évidente comme un réel.
Bizarres, tes dénominateurs (1-e^(2i)) - 1) et (1-e^(-2i)) - 1) !!! Erreur de copie (avec cette parenthèse en trop !) ou erreur de calcul ?
Regarde les messages #10 et #11.

Cordialement.

[ansset]

non, enfin tu as plusieurs méthodes,
à la fin tu doit retrouver un réel , non ?
une solution est de commencer par ramener au même dénominateur et de distribuer les e(i) et e(-i)
en développant tu vas voir apparaître des e(ix)+ e(-ix) sous plusieurs formes.

[invite99b052d5]

au dénominateur je n'ai pas le -1 il est après le quotient , mais après je ne vois pas du tout comment faire
je ramène au même dénominateur les 2 quotients trouvés avec la formule ?

[ansset]

pour le -1 :
il est multiplié par e(i) puis par e(-i), le tout ayant un facteur (1/2) du début:
soit -(e(i)+e(-i))/2 donc ?
pour le reste tu reduit au même dénominateur et tu développes ...
c'est juste du calcul qui te feront apparaître des sommes qui te rappeleront des cos et des sin.
on ne va pas faire le calcul à chacune de tes lignes.

[invite99b052d5]

je n'ai pas trouvé la réponse car qd je réduis au même dénominateur c'est bizarre après

[gg0]

Sans tes calculs, on ne peut pas savoir ...

Rappel : C'est un réel. Donc il faut l'écrire sans exponentielles complexes, les remplacer.
Rappel : exp(ix) et exp(-ix) sont des conjugués, leur produit vaut 1, leur somme vaut 2 cos(x).

[invite99b052d5]

J'ai 1/2((e^i)*(1-e^(2i)(n+1)/1-e^(2i)) - 1 + (e^-i)*(1-e^(-2i)(n+1)/1-e^(-2i)) - 1))
et là je en sais pas quoi faire

[ansset]

J'ai 1/2((e^i)*\frac{(1-e^(2i)(n+1)}{1-e^(2i)} - 1 + (e^-i)*\frac{(1-e^(-2i)(n+1)}{1-e^(-2i)}- 1))
et là je en sais pas quoi faire

en l'écrivant autrement:

on rassemble les (-1)

on distribue les e^i et e^(-i)


le premier terme est évidement -cos(1).
je te suggère pour le reste de ramener au même dénominateur , et faire apparaître des
e^ip+e^(-ip) soit des 2cos(p)
ou alors tu traites chaque partie séparément

[invite99b052d5]

Merci , je vois mieux maintenant

[ansset]

erreur de frappe les +3 et -3 sont des +3i et -3i bien sur

[gg0]

Et en mettant même dénominateur les deux dernières fractions on a spontanément un dénominateur réel.

Rappel de ton message #20

je n'ai pas trouvé la réponse car qd je réduis au même dénominateur c'est bizarre après

Ce que tu as proposé n'est pas réduit au même dénominateur. Et il a fallu que Ansset fasse le calcul à ta place !! Ce n'est pas sérieux !