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Quand a-t-on " l'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances "



  1. #1
    neoda

    Quand a-t-on " l'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances "


    ------

    Bonjour,

    Est-ce que quelqu'un connaitrait une référence permettant de me dire que ceci est vrai :

    On a un ensemble de variables aléatoires v1,v_1,...,v_n, et des nombres p1, ... pn. Je cherche l'espérance de p1 v_1 + p2 v_2 + P3 v_3 + ... pn v_n. A mon avis c'est égal à p1 E[v_1]+p2E[v_2]+... pnE[v_n], mais comment le prouver ?

    Dans mon problème j'ai E[v_1]=E[v_2]=...=E[v_n] mais les variables v_i ne sont pas indépendantes...

    Merci pour votre aide !!

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Quand a-t-on " l'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances "

    Bonjour.

    Propriétés classiques de l'espérance (linéarité).
    Si X est une variable aléatoire, a une constante et Y une autre variable aléatoire, indépendante ou pas :
    E(aX)=aE(X)
    E(X+Y)=E(X)+E(Y).
    Tu aurais trouvé ça dans n'importe quel cours de base sur les variables aléatoires. Tu aurais pu chercher !

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 12/02/2014 à 06h53.

  3. #3
    neoda

    Re : Quand a-t-on " l'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances "

    Merci ! J'avais trouvé quelque chose qui ressemble à ça en effet, mais je pensais mal avoir compris, cela me paraissait bizarre que l'espérance de la somme soit égale à la somme des espérance même si les variables ne sont pas indépendantes.
    Merci en tout cas pour ta réponse !

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Quand a-t-on " l'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances "

    En fait,

    l'espérance est bien linéaire, c'est une conséquence assez immédiate de la linéarité de la somme (variables discrètes) ou de l'intégrale (variables continues). On s'en sert très souvent.
    par contre, pour la variance, il n'y a plus linéarité, et la variance d'une somme est généralement différente de la somme des variances. Il n'y a égalité que pour des variables décorrélées (covariance nulle).

    Cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    neoda

    Re : Quand a-t-on " l'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances "

    D'accord, merci !!

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