Quelle est la nature du nombre Pi ?

**andretou** · 01/09/2016, 01h58

Bonjour à tous
On sait que le nombre Pi est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, et qu'il existe de nombreuses manières et de nombreuses formules permettant de le calculer, avec autant de milliards de décimales que l'on veut.
Mais je me demande s'il existe une explication à la valeur particulière de Pi.
En effet, la valeur de Pi est-elle le fruit d'un pur hasard (ou d'une volonté divine, à chacun de choisir) qu'il est impossible d'expliquer et que l'on peut seulement constater et mesurer, au même titre que la valeur des autres constantes universelles (telles que la constante de Planck, la vitesse de la lumière ou la constante gravitationnelle) ?
Ou la valeur de Pi procède-t-elle au contraire d'une logique mathématique fondamentale qui imposerait que Pi vaut précisément 3,141... et non pas 3,1 ou 3,2 ou tout autre nombre ?
Accessoirement, existe-t-il des géométries qui admettraient d'autres valeurs pour Pi ?
Merci pour vos réponses

**Médiat** · 01/09/2016, 05h19

Bonjour,

Envoyé par andretou

Ou la valeur de Pi procède-t-elle au contraire d'une logique mathématique fondamentale qui imposerait que Pi vaut précisément 3,141... et non pas 3,1 ou 3,2 ou tout autre nombre ?
Accessoirement, existe-t-il des géométries qui admettraient d'autres valeurs pour Pi ?

On sait que 5/2 = 2.5, cette valeur est-elle le fruit d'un pur hasard (ou d'une volonté divine, à chacun de choisir) qu'il est impossible d'expliquer et que l'on peut seulement constater, ou procède-t-elle au contraire d'une logique mathématique fondamentale qui imposerait que 5/2 vaut précisément 2.5 et non pas 2.4 ou 2.6 ou tout autre nombre ? C'est la même question, répondez à l'une, vous répondrez à l'autre.

Il existe des géométries où le rapport entre le périmètre d'un cercle et sont diamètre n'est pas constant (donc Pi avec sa définition géométrique n'existe pas.

**PlaneteF** · 01/09/2016, 08h20

Bonjour,

Envoyé par Médiat

Bonjour,On sait que 5/2 = 2.5, cette valeur est-elle le fruit d'un pur hasard (ou d'une volonté divine, à chacun de choisir) qu'il est impossible d'expliquer et que l'on peut seulement constater, ou procède-t-elle au contraire d'une logique mathématique fondamentale qui imposerait que 5/2 vaut précisément 2.5 et non pas 2.4 ou 2.6 ou tout autre nombre ? C'est la même question, répondez à l'une, vous répondrez à l'autre.

J'allais faire le même type message que toi mais en disant que $\text{[math]}$ ... c'est quand même un sacré hasard

Cordialement

**Seirios** · 01/09/2016, 09h11

Bonjour,

Je trouve la question plutôt légitime. Déjà, il est surprenant que le quotient de la circonférence d'un cercle par son diamètre reste le même quelque soit le cercle que l'on choisit. Comme l'a mentionné Médiat, ce n'est pas vrai dans toutes les géométries. En fait, si l'on se restreint aux surfaces "homogènes" (ie. où la géométrie est "la même" en tout point), alors il existe essentiellement trois géométries (locales) possibles : la géométrie euclidienne, la géométrie sphérique et la géométrie hyperbolique. En géométrie hyperbolique, un cercle de rayon $\text{[math]}$ a une circonférence de $\text{[math]}$ ; et en géométrie sphérique, une circonférence de $\text{[math]}$ . Le rapport n'est pas du tout constant ici.

Revenons-en au cas euclidien. Il faut déjà se rappeler que la longueur d'une courbe se définit comme la limite de la longueur d'une ligne brisée (définie de manière évidente comme la somme des longueurs de chaque segment) dont les points de brisure se situent sur la courbe en question, en faisant tendre la distance entre deux points de brisure successifs vers zéro. Autrement dit, la circonférence d'un cercle est juste la limite du périmètre d'un polygone régulier de rayon $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ côtés lorsque $\text{[math]}$ . Il n'est pas difficile de calculer ce périmètre, qui vaut $\text{[math]}$ . La limite vaut bien sûr $\text{[math]}$ .

Du coup, le $\text{[math]}$ vient juste du fait que faire un tour sur soi-même donne un angle de $\text{[math]}$ .

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**gg0** · 01/09/2016, 09h16

Bonjour.

A priori, Andretou donne la réponse : "Ou la valeur de Pi procède-t-elle au contraire d'une logique mathématique fondamentale qui imposerait que Pi vaut précisément 3,141... et non pas 3,1 ou 3,2 ou tout autre nombre ? "
Si on se place dans le cadre des mathématiques, il n'y a pas d'autre réponse. Qui n'est d'ailleurs pas contradictoire avec l'autre alternative : " le fruit d'un pur hasard (ou d'une volonté divine, à chacun de choisir)".

Cordialement.

NB : Cette question ne me semble pas relever des mathématiques ...

**andretou** · 01/09/2016, 14h32

Envoyé par Médiat

Bonjour,On sait que 5/2 = 2.5, cette valeur est-elle le fruit d'un pur hasard (ou d'une volonté divine, à chacun de choisir) qu'il est impossible d'expliquer et que l'on peut seulement constater, ou procède-t-elle au contraire d'une logique mathématique fondamentale qui imposerait que 5/2 vaut précisément 2.5 et non pas 2.4 ou 2.6 ou tout autre nombre ? C'est la même question, répondez à l'une, vous répondrez à l'autre.

Je vous remercie pour votre réponse. Je crois que ma question n'était pas claire.
En effet, si Pi était un nombre rationnel comme 2,5, alors il n'y aurait aucun problème puisque la valeur du nombre Pi procéderait d'une logique arithmétique (rapport entre deux entiers).
Idem si Pi était solution d'une équation, comme racine de 2 (la valeur de Pi procéderait alors d'une logique algébrique).
Or le nombre Pi n'est ni rationnel, ni algébrique. De quelle logique la valeur de Pi procède-t-elle ?

**Médiat** · 01/09/2016, 14h36

La même que e, et tous les transcendants, dont un petit nombre ( $\text{[math]}$ ) est calculable et un plus grand nombre ( $\text{[math]}$ ) n'est même pas définissable.

**andretou** · 01/09/2016, 14h42

Mais quelle est cette logique ? Comment la définir ?

**Médiat** · 01/09/2016, 14h48

Que voulez-vous dire ?

**obi76** · 01/09/2016, 15h15

Bonjour,

Envoyé par Seirios

Je trouve la question plutôt légitime. Déjà, il est surprenant que le quotient de la circonférence d'un cercle par son diamètre reste le même quelque soit le cercle que l'on choisit. .

Pas plus que pour un carré où le rapport périmètre / coté vaut 4, quelque soit sa taille...

**andretou** · 01/09/2016, 15h17

Envoyé par Médiat

Que voulez-vous dire ?

J'ai l'impression que cette valeur de Pi nous tombe du ciel. Quand on me dit que Pi vaut 3,14159..., ça m'énerve d'autant plus que ses décimales n'ont aucune signification, comme si elles avaient été tirées au hasard...

**Médiat** · 01/09/2016, 15h23

Vous vous engagez dans une voie extra-mathématique qui n'a pas sa place sur FSG, aller plus loin dans cette direction entrainerait la fermeture immédiate de ce fil.

Médiat, pour la modération

**obi76** · 01/09/2016, 15h33

Envoyé par andretou

J'ai l'impression que cette valeur de Pi nous tombe du ciel. Quand on me dit que Pi vaut 3,14159..., ça m'énerve d'autant plus que ses décimales n'ont aucune signification, comme si elles avaient été tirées au hasard...

Pas plus que $\text{[math]}$ ...

**andretou** · 01/09/2016, 15h34

Envoyé par Médiat

Vous vous engagez dans une voie extra-mathématique qui n'a pas sa place sur FSG, aller plus loin dans cette direction entrainerait la fermeture immédiate de ce fil.

Médiat, pour la modération

Désolé, il y a dans Pi quelque chose que je n'arrive pas à saisir, et j'ai sans doute du mal à l'exprimer clairement.

**Deedee81** · 01/09/2016, 15h36

Salut,

EDIT gros croisement, désol

Tu parles de nombres ayant pour toit un sens comme racine de 2.

Mais ici aussi, beaucoup de nombre transcendant comme pi peuvent se définir par des sommes de fractions (c'est utilisé dans le calcul numérique des décimales de pi). Et ça a un sens.

Tu dis "ses décimales n'ont aucune signification, comme si elles avaient été tirées au hasard... "

Mais :
- qu'entends-tu par "avoir une signification" ???? 42351 a une signification pour toi ? Laquelle ?
- il y a moyen de définir une notion de hasard, Médiat me fustigera si je dis une bêtise, mais par exemple le fait d'être un nombre normal. C'est fort probable pour pi, mais ce n'est pas prouvé.
D'un autre coté ces décimales ne sont pas aléatoires DU TOUT au sens de Kolmogorov puisque l'on sait définir totalement pi par des formules compactes.

**andretou** · 01/09/2016, 15h38

Envoyé par obi76

Pas plus que $\text{[math]}$ ...

Justement non, les décimales de $\text{[math]}$ ont une utilité ; elles permettent par multiplication de retrouver 2 ; 1,414 x 1,414 = 1,999396

**Médiat** · 01/09/2016, 15h38

A tout hasard, si on change n'importe quel nombre fini de décimales de Pi et de la façon que l'on veut, et le résultat est toujours transcendant (non solution d'une équation algébrique), et on peut faire tout un tas d'autre opérations avec le même résultat

**obi76** · 01/09/2016, 15h56

Envoyé par andretou

Justement non, les décimales de $\text{[math]}$ ont une utilité ; elles permettent par multiplication de retrouver 2 ; 1,414 x 1,414 = 1,999396

Ben les décimales de pi aussi, elles permettent de trouver le périmètre à partir du diamètre (sinon ce n'est plus le périmètre)...

invitecbade190 · 01/09/2016, 15h57

Bonjour à tous,

Juste une petite question que j'adresse à tout le monde :

Le fait de dire que $\text{[math]}$ est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, cela signifie-t-il que $\text{[math]}$ est constructible à la règle et au compas ? Si c'est non, quelle est la différence ?.

Cordialement.

**andretou** · 01/09/2016, 16h50

Envoyé par Deedee81

Salut,

EDIT gros croisement, désol

Tu parles de nombres ayant pour toit un sens comme racine de 2.

Mais ici aussi, beaucoup de nombre transcendant comme pi peuvent se définir par des sommes de fractions (c'est utilisé dans le calcul numérique des décimales de pi). Et ça a un sens.

Tu dis "ses décimales n'ont aucune signification, comme si elles avaient été tirées au hasard... "

Mais :
- qu'entends-tu par "avoir une signification" ???? 42351 a une signification pour toi ? Laquelle ?
- il y a moyen de définir une notion de hasard, Médiat me fustigera si je dis une bêtise, mais par exemple le fait d'être un nombre normal. C'est fort probable pour pi, mais ce n'est pas prouvé.
D'un autre coté ces décimales ne sont pas aléatoires DU TOUT au sens de Kolmogorov puisque l'on sait définir totalement pi par des formules compactes.

Pour moi, ce qui est profondément frustrant avec Pi comme avec les autres nombres transcendants, c'est qu'apparemment on ne puisse les définir autrement qu'en disant que ce ne sont pas des nombres algébriques... On ne les définit pas par ce qu'ils sont, mais par ce qu'ils ne sont pas !
C'est sans doute là ce qui me dérange le plus avec Pi (comme du coup avec les autres nombres transcendants) : en les regroupant arbitrairement et collectivement sous l'étiquette "transcendants" ça ne dit pas ce qu'ils sont intrinsèquement.
Par ailleurs je suis d'accord, Pi (et e) se calcule à l'aide de séries illimitées et le résultat n'a rien de hasardeux au sens opératoire. Je voulais dire que contrairement au nombre "racine de 2" dont les décimales se doivent d'être cohérentes avec un autre nombre (en l'occurence 2), les décimales de Pi ne semblent pas avoir cette contrainte vis à vis d'un autre nombre en particulier, d'où le terme de hasard que j'ai employé sans doute maladroitement...

invite51d17075 · 01/09/2016, 17h13

Envoyé par andretou

Pour moi, ce qui est profondément frustrant avec Pi comme avec les autres nombres transcendants, c'est qu'apparemment on ne puisse les définir autrement qu'en disant que ce ne sont pas des nombres algébriques... On ne les définit pas par ce qu'ils sont, mais par ce qu'ils ne sont pas !
...

bjr,
tu te fais une drôle d'idée de l'ensemble des nombres réels ici ( parce que c'est la même chose pour les complexes )
le fait est que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable ,
mais pas celui des nombres transcendants ( de fait ils constituent la "quasi-totalité" des nombres justement ).
il s'avère juste que certains correspondent à des "relations mathématiques".

il me semble que c'est le point qui te gène, car si on pouvait établir une manière de lister ou définir l'ensemble des transcendants , alors ils deviendraient dénombrables , ce qui n'est pas le cas.
je vais aussi me faire gronder par Mediat tellement cela doit être mal dit !!!!
Cdt

**andretou** · 01/09/2016, 17h19

Envoyé par obi76

Ben les décimales de pi aussi, elles permettent de trouver le périmètre à partir du diamètre (sinon ce n'est plus le périmètre)...

Oui, géométriquement tu as mille fois raison. Cependant, le calcul de Pi ne se fait plus seulement géométriquement, il n'est même plus besoin de savoir ce qu'est un cercle pour définir et pour calculer Pi avec les méthodes modernes !... C'est dans ce contexte purement abstrait que les décimales de Pi me paraissent arbitraires.

invite51d17075 · 01/09/2016, 17h19

"définir" n'est pas le plus ad hoc : à remplacer par "décrire" peut être....

**andretou** · 01/09/2016, 17h45

Envoyé par chentouf

Le fait de dire que $\text{[math]}$ est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, cela signifie-t-il que $\text{[math]}$ est constructible à la règle et au compas ?

Que veux-tu dire par "construire un nombre à la règle et au compas" ?
Classiquement, le fameux problème où il est question de règle et de compas est celui de la quadrature du cercle, qui consiste à dessiner un carré de même aire qu'un cercle donné. En 1882, en démontrant que $\text{[math]}$ n'était pas un nombre algébrique (solution d'une équation), Von Lindeman a démontré l'impossibilité de résoudre ce problème.

invitecbade190 · 01/09/2016, 18h19

Bonjour andretou :

J'entends par : construire un nombre à la règle et au compas, ce qui est écrit dans le premier paragraphe de l'article suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Constr...e_et_au_compas
Or, puisque $\text{[math]}$ est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, alors, $\text{[math]}$ a juste besoin d'un cercle et d'une droite pour être construit, c'est à dire qu'il a besoin juste d'une règle et d'un compas pour être construit, d'où l’appellation : constructible à la règle et au compas, non ? Donc, $\text{[math]}$ est un nombre constructible à la règle et au compas. Or c'est faux, puisqu’il est communément admis que $\text{[math]}$ est un nombre transcendant. Où est l'erreur ?

Merci.

invite23cdddab · 01/09/2016, 18h24

Construire pi à la règle et au compas, ça veut dire, étant donné un segment de longueur 1, construire un segment de longueur pi (à la règle et au compas)

Et on a prouvé que ça n'est pas possible. Pour résumer, à la règle et au compas, on peut additionner, soustraire, multiplier, diviser et faire la racine carrée. Si ton nombre ne peut pas s'écrire avec un nombre fini de telles opérations (et du nombre 1), alors il n'est pas constructible.

**gg0** · 01/09/2016, 18h27

Andretou,

tu surestimes l'indépendance de Pi par rapport aux autres nombres. sin(pi)=0 et toutes les relations trigonométriques te disent que tu as tort. Simplement Pi est moins simple que les autres nombres ...plus simples. Mais bien plus que d'autres nombres classiques, comme la constante d'Euler gamma par exemple.
Mais il n'y a aucun mystère là derrière. Et les décimales de Pi sont bien régulières, même si elles ne sont pas périodiques; la preuve : on a un algorithme très simple pour calculer la n-ième décimale en base 2 sans calculer toutes les précédentes, par exemple la 1000000000000-ième.

Cordialement.

**andretou** · 01/09/2016, 23h54

Merci à tous pour vos explications et pour vos arguments qui m'aident à mettre un peu d'ordre dans ma pensée.
En fait, afin d'essayer de comprendre la nature transcendante de $\text{[math]}$ , qu'est-ce qui serait fondamentalement différent si $\text{[math]}$ avait été algébrique (hormis qu'on pourrait réaliser la quadrature du cercle) ?
Est-ce que $\text{[math]}$ lui-même aurait nécessairement une valeur différente ? Dans quelle mesure les mathématiques seraient-elles différentes ?

**Médiat** · 02/09/2016, 05h23

Bonjour,

Envoyé par andretou

qu'est-ce qui serait fondamentalement différent si $\text{[math]}$ avait été algébrique (hormis qu'on pourrait réaliser la quadrature du cercle) ?

Non, tous les algébriques ne sont pas constructibles voir, par exemple le chapitre III.5 et en particulier le § III.5.4 du document http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180.

Sinon, a priori, je ne vois pas bien ce que cela aurait pu changer de "fondamental"

**andretou** · 02/09/2016, 20h01

Envoyé par Médiat

Il existe des géométries où le rapport entre le périmètre d'un cercle et sont diamètre n'est pas constant (donc Pi avec sa définition géométrique n'existe pas.

Merci pour cette info. Auriez-vous éventuellement quelques références concernant cette géométrie curieuse ?

Quelle est la nature du nombre Pi ?

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Re : Quelle est la nature du nombre Pi ?

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