Quelle est la nature du nombre Pi ?

[ansset]

géométries non euclidiennes.
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[Médiat]

Cf. le message #4 de Seirios

[andretou]

Dans le cas des géométries non euclidiennes, est-ce que lui-même change vraiment de valeur ?
J'avais cru comprendre que lui-même restait invariant d'une géométrie à l'autre, même si la circonférence du cercle n'était plus égale à 2R.
Pouvez-vous SVP confirmer ?

[Médiat]

Dans le cas des géométries non euclidiennes, est-ce que lui-même change vraiment de valeur ?

Est(ce que 2 change de valeur ?

[andretou]

Est(ce que 2 change de valeur ?

D'après Seiros #4 :

En géométrie hyperbolique, un cercle de rayon a une circonférence de ; et en géométrie sphérique, une circonférence de .

Ainsi, sauf erreur de ma part, les nombres et 2 sont invariants d'une géométrie à l'autre, c'est seulement le rayon qui change et qui par conséquent change la circonférence du cercle...
Pour que n'ait pas la même valeur d'une géométrie à l'autre, il faudrait imaginer une géométrie non euclidienne particulière dans laquelle le rayon et la circonférence resteraient invariants ; dans ce cas (et/ou 2) aurait nécessairement une autre valeur.
Si d'aventure une telle géométrie puisse exister, alors en effet apparaîtrait non plus comme une constante mais comme une variable...

[andretou]

Une question stupide m'est venue à l'esprit :
- l'ensemble des entiers naturels,
- l'ensemble des décimales de 1/3 = 0,33333...,
- l'ensemble des décimales de ,
- et l'ensemble des décimales de ,
ont-ils tous le même cardinal (nombre d'éléments) ?

[PlaneteF]

Bonjour,

Ainsi, sauf erreur de ma part, les nombres et 2 sont invariants d'une géométrie à l'autre,

dans ce cas (et/ou 2) aurait nécessairement une autre valeur.

... Dans l'arithmétique de Peano, est le successeur du successeur de qui ce dernier est un symbole de constante du langage de cette théorie ... Quel est le rapport avec ces histoires de géométries ?

Cordialement

[ansset]

Une question stupide m'est venue à l'esprit :
- l'ensemble des entiers naturels,
- l'ensemble des décimales de 1/3 = 0,33333...,
- l'ensemble des décimales de ,
- et l'ensemble des décimales de ,
ont-ils tous le même cardinal (nombre d'éléments) ?

qu'appelles tu "ensemble des décimales" ?
les décimales de 1/3 ne contient que des 3.
celles de rac(2) et pi que des nombres de 0 à 9.
ou bien tu évoques un "ensemble dénombrable".....??

[Seirios]

Pour que n'ait pas la même valeur d'une géométrie à l'autre, il faudrait imaginer une géométrie non euclidienne particulière dans laquelle le rayon et la circonférence resteraient invariants ; dans ce cas (et/ou 2) aurait nécessairement une autre valeur.
Si d'aventure une telle géométrie puisse exister, alors en effet apparaîtrait non plus comme une constante mais comme une variable...

Tu peux regarder , où . Dans ce cas, les sphères sont des carrés.

[Amanuensis]

Pour que n'ait pas la même valeur d'une géométrie à l'autre, il faudrait imaginer une géométrie non euclidienne particulière dans laquelle le rayon et la circonférence resteraient invariants ;

Depuis le début vous confondez une définition et un nombre. Ce qui vous vaut des réponses ironiques.

Pi en tant que nombre, est ce qu'il est, avec ses décimales, et tout le reste. Le symbole pi désigne ce nombre, et rien d'autre. Il y a différentes manières de le décrire mathématiquement, par un développement en décimales, par la limite d'une série, ..., mais il s'agit de descriptions d'un même et unique nombre.

La définition comme rapport entre périmètre et diamètre est celle d'une mesure, pas d'un nombre. Le résultat sera exprimé par un nombre ou par un autre, selon le contexte, si la définition proposée dépend d'un contexte (ici la géométrie considérée). Il ne faut pas utiliser pi comme symbole du résultat de cette mesure. Par exemple, en utilisant 'P', la question devient

"Pour que P (le rapport périmètre sur diamètre d'un cercle) n'ait pas la même valeur d'une géométrie à l'autre, il faudrait imaginer une géométrie non euclidienne particulière dans laquelle le rayon et la circonférence resteraient invariants "

et la question devient claire. (Et Seirios, dans le message qui précède, répond à cette question là.)

[andretou]

Depuis le début vous confondez une définition et un nombre. Ce qui vous vaut des réponses ironiques.

Merci Amanuensis, j'apprécie ta sincérité.
Mais bah, quand on pose une question, c'est toujours le risque. L'essentiel est que la réflexion progresse, ne serait-ce qu'à mon modeste niveau. Et tant mieux si la question permet à bon compte à certains de se croire plus intelligents qu'ils ne sont, en se gardant bien d'aller au fond des choses. Au final, l'important est que tout le monde y trouve son compte...

Ceci dit, je crois donc comprendre qu'il ne peut exister aucune géométrie dans laquelle aurait une valeur différente de 3,141... (certaines réponses précédentes m'avaient laissé penser le contraire).
Bien à toi

[andretou]

Je reformule plus précisément ma question :

Une question stupide m'est venue à l'esprit :
- l'ensemble INFINI des entiers naturels,
- l'ensemble INFINI des décimales de 1/3 = 0,33333...,
- l'ensemble INFINI des décimales de ,
- et l'ensemble INFINI des décimales de ,
ont-ils tous le même cardinal (nombre d'éléments) ?

[Tryss2]

C'est quoi pour toi l'ensemble des décimales de 1/3? Peux tu en donner des éléments?

[invitecbade190]

Bonsoir,

Juste quelques précisions sur ce qui a été dit au début :
Après avoir lu le dernier message de Amanuensis, je crois que j'ai saisi une chose :
en principe, n'est pas le rapport de la circonférence à son diamètre, mais plutôt la mesure de Lebesgue, de l'aire du cercle unité.
en effet : avec : .

Je me demande si les nombres constructibles à la règle et au compas, sont les nombres tels qu'il n'existe que de cercles et des droites et tels que . avec : une application ensembliste s'exprimant à l'aide des trois opérateurs qui définissent la tribu borélienne de qui sont : .
Qu'en est-il des nombres constructibles ?

Vous connaissez la réponse ?

Merci d'avance.

[invitecbade190]

Pardon, qu'en est-t-il des nombres exprimables par radicaux ?

[andretou]

C'est quoi pour toi l'ensemble des décimales de 1/3? Peux tu en donner des éléments?

Ben, si 0,3 a une seule décimale, si 0,33 en a deux, si 0,333 en a trois, etc..., alors 1/3 a bien une infinité de décimales, non ?

[Médiat]

Ben, si 0,3 a une seule décimale, si 0,33 en a deux, si 0,333 en a trois, etc..., alors 1/3 a bien une infinité de décimales, non ?

Bonjour,

Déjà, il faut faire attention aux rationnels, comme 1/3, puisqu'un rationnel peut avoir un nombre décimales différent selon la base dans laquelle on l'exprime, par exemple (1/3) s'écrit 0,1 en base 3 et n'a donc qu'une seule "décimale".

Sinon, le nombre de décimales, lorsqu'il est est infini est de cardinal , c'est à dire le cardinal de IN (cf. la définition de l'écriture décimale).

Ceci dit, je crois donc comprendre qu'il ne peut exister aucune géométrie dans laquelle aurait une valeur différente de 3,141..

Si la définition de Pi est un nombre, il n'est lié à aucune géométrie, il n'a qu'une seule valeur : Pi ; si la définition de Pi est le ratio entre le périmètre d'un cercle et son diamètre, si celui-ci est constant, alors dans certaines géométries il n'existe pas, dans d'autres il peut avoir des valeurs diverses (Sérios a donné un exemple précis), mais bon tout cela, je l'ai déjà écrit dans le message #2 !

PS : Quand j'ai besoin de me sentir plus intelligent que je ne suis, je ne perds pas mon temps à répondre à des questions triviales.