Bonjour,
Je continue de creuser dans les maths autour de la RG et je me suis posé un exercice : déterminer la connexion pour une surface (ou hypersurface), décrite (au moins sur un certain domaine) par une fonction z=f(). Pour être le plus général possible, j'ai essayé sans métrique, ce qui s'est avéré infructueux au vu de mon niveau... alors j'ai triché, j'ai plongé ma surface dans un espace euclidien avec des coordonnées
.
La distance entre deux points infinitésimalement proche dans l'espace euclidien estet si j'impose à mes points d'être sur la surface, dz peut s'écrire :
Du coup j'ai trouvé que cela induisait la métrique suivante sur ma surface :
Puis j'ai calculé les symboles de Christoffel du premier type (via son expression en fonction des dérivées de la métrique), et j'ai trouvé :
Après pour obtenir les symboles de Christoffel du second type (et donc la connexion), j'ai été un peu enquiquiné par l'inverse de ma métrique, mais j'ai pu démontré que pour une surface 2D on a :
et j'ai réussi à le faire pour une hypersurface en 3D (l'inversion n'est pas encore trop compliquée) et j'ai trouvé une expression de la même forme :
Ce qui me pousse à penser qu'on peut généraliser (sans être capable de le démontrer) :
Est-ce que tout ceci vous semble correct? Pour obtenir ce résultat sans passer par une métrique, comment procède-t-on?
En tout cas j'en ai déduit les choses suivantes, qui me paraissent logiques : pour une surface courbe quelconque, les coordonnéessont des coordonnées normales aux extremums (dérivées premières de z toutes nulles, donc symboles de Christoffel tous nuls). Pour une surface plane sur un certain domaine, ce sont des coordonnées normales partout dans le domaine (dérivées secondes de z toutes nulles, donc symboles de Christoffel tous nuls).
Merci pour vos commentaires
m@ch3
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