connexion sur une surface courbe avec ou sans métrique

[mach3]

Bonjour,

Je continue de creuser dans les maths autour de la RG et je me suis posé un exercice : déterminer la connexion pour une surface (ou hypersurface), décrite (au moins sur un certain domaine) par une fonction z=f(). Pour être le plus général possible, j'ai essayé sans métrique, ce qui s'est avéré infructueux au vu de mon niveau... alors j'ai triché, j'ai plongé ma surface dans un espace euclidien avec des coordonnées .
La distance entre deux points infinitésimalement proche dans l'espace euclidien est et si j'impose à mes points d'être sur la surface, dz peut s'écrire :

Du coup j'ai trouvé que cela induisait la métrique suivante sur ma surface :

Puis j'ai calculé les symboles de Christoffel du premier type (via son expression en fonction des dérivées de la métrique), et j'ai trouvé :

Après pour obtenir les symboles de Christoffel du second type (et donc la connexion), j'ai été un peu enquiquiné par l'inverse de ma métrique, mais j'ai pu démontré que pour une surface 2D on a :
et j'ai réussi à le faire pour une hypersurface en 3D (l'inversion n'est pas encore trop compliquée) et j'ai trouvé une expression de la même forme :

Ce qui me pousse à penser qu'on peut généraliser (sans être capable de le démontrer) :


Est-ce que tout ceci vous semble correct? Pour obtenir ce résultat sans passer par une métrique, comment procède-t-on?

En tout cas j'en ai déduit les choses suivantes, qui me paraissent logiques : pour une surface courbe quelconque, les coordonnées sont des coordonnées normales aux extremums (dérivées premières de z toutes nulles, donc symboles de Christoffel tous nuls). Pour une surface plane sur un certain domaine, ce sont des coordonnées normales partout dans le domaine (dérivées secondes de z toutes nulles, donc symboles de Christoffel tous nuls).

Merci pour vos commentaires

m@ch3
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[0577]

Bonjour,

je ne comprends pas la remarque initiale sur "la" connexion et sur le fait ou non d'utiliser une métrique. Sur une variété différentielle, il n'y a pas de choix privilégié de connexion. Si l'on se donne une métrique, alors il y a un choix naturel de connexion (dite de Levi-Civita) qui est celui utilisé en RG. Il est donc nécessaire de préciser de quelle métrique on parle pour savoir de quelle connexion on parle.

Voici une manière de calculer l'inverse de la métrique. On cherche l'inverse de la matrice I+A où I est la matrice identité et où A est la matrice de coefficients (je note pour ).
On a (somme des termes d'une série géométrique)
Essayons donc de calculer : on trouve immédiatement



On a donc

...
d'où




où on a de nouveau sommé une série géométrique.
En coordonnées, on a donc trouvé:



En utilisant cette formule, on vérifie facilement que l'expression que vous avez devinée pour les symboles de Christoffel est correcte.

[0577]

Dans le message précédent, je n'est pas eu le temps de corriger des erreurs de frappe qui rendent l'ensemble incompréhensible. Je recommence donc:


On cherche l'inverse de la matrice I+A où I est la matrice identité et où A est la matrice de coefficients



(je note pour ).
On a (somme des termes d'une série géométrique)



Essayons donc de calculer : on trouve immédiatement

.

On a donc



etc, d'où




où on a de nouveau sommé une série géométrique.
En coordonnées, on a donc trouvé:

En utilisant cette formule, on vérifie facilement que l'expression que vous avez devinée pour les symboles de Christoffel est correcte.

[mach3]

je ne comprends pas la remarque initiale sur "la" connexion et sur le fait ou non d'utiliser une métrique. Sur une variété différentielle, il n'y a pas de choix privilégié de connexion. Si l'on se donne une métrique, alors il y a un choix naturel de connexion (dite de Levi-Civita) qui est celui utilisé en RG. Il est donc nécessaire de préciser de quelle métrique on parle pour savoir de quelle connexion on parle.

Il faut savoir que je ne sais pas encore bien de quoi je parle, je débute dans ce domaine là... Il y a que j'avais compris, en tout cas, que l'idée de connexion était indépendante de l'idée de métrique et je me suis donc demandé "si j'ai une variété quelconque, sur laquelle je n'ai pas de métrique a priori (par exemple pour une surface qui représente le volume d'un gaz en fonction de la pression et de la température), comment je peux définir une connexion ? (avant j'aurais dit "la", mais du coup je me corrige)"

merci pour le tuyau sur l'inversion de métrique, je vais étudier ça.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Bonsoir,

Sauf erreur de ma part, ton hypersurface définie par : , est une variété muni d'une métrique Riemannienne, puisque sa signature est , et donc, sur son fibré tangent, il n'existe qu'une seule connexion Riemannienne sur la variété qu'on appelle connexion de Levi-Cevita, elle est induite uniquement par la métrique. Bien sûr, il peut y avoir d'autres connexions pour le fibré tangente de ton hypersurface Riemannienne, mais à condition qu'elles ne soient pas Riemannienne ... Ce qui différencie la connexion Riemannienne des autres connexions sur un fibré tangent, est que la connexion Riemannienne se caractérise par la présence de deux conditions restrictives :
La connexion Riemannienne est de torsion nulle ( i.e : )
La connexion Riemannienne obéit à une formule ( que j'ai la flemme d'écrire ) qui traduit le fait que le transport parallèle est une isométrie, c'est à dire qu'il préserve les distances, en se déplaçant d'une fibre ou espace tangent en un point de la variété, à une autre.

[mach3]

Sauf erreur de ma part, ton hypersurface [...] est une variété muni d'une métrique Riemannienne

ben pas forcément de ce que je crois comprendre.
Si je travaille, par exemple, sur V=f(P,T), le volume d'un système thermodynamique en fonction de la pression et de la température, alors il n'y a pas de métrique a priori, parler de distance ou d'angle ici n'a aucun sens (en tout cas aucun sens physique). En revanche, la représentation "concrétisée" dans un repère euclidien, avec des axes P, T et V, de V=f(P,T) admet effectivement une métrique, qu'elle hérite de l'espace Euclidien, ce sera une métrique ad hoc, totalement dépendante de la façon dont j'aurais gradué mes axes (si je change d'unité de pression, par exemple, la surface sera dilatée ou comprimée dans le sens de l'axe P et ça changera toutes les distances et tous les angles).
Pour ce qui concerne la représentation "concrétisée" dans l'espace euclidien, j'ai bien compris que ça induisait une métrique et que du coup on tombait sur la fameuse connexion de Levi-Civita.
En revanche, en ce qui concerne la variété pour elle-même, avec en chaque point une valeur de V, P et T et avec des champs de 1-formes correspondantes dV, dP, dT (avec ), et bien je bloque un peu. Il n'y a pas de choix privilégié de connexion (dixit 0577), mais comment s'y prend-t-on pour définir l'une d'elle?

m@ch3

[Amanuensis]

je me suis donc demandé "si j'ai une variété quelconque, sur laquelle je n'ai pas de métrique a priori (par exemple pour une surface qui représente le volume d'un gaz en fonction de la pression et de la température), comment je peux définir une connexion ?

Il y a pas mal d'implicite là. On part d'une variété différentielle, et on parle d'une connexion du fibré des repères (qui implique une connexion sur le fibré tangent).

Ce que j'en comprends:

Sans entrer dans les détails, une connexion sur le fibré des repères est un champ (différentiable) de fonctions linéaires qui à un vecteur associent un élément de l'algèbre de Lie du groupe linéaire (le groupe de Lie qui transforme un repère vectoriel en un autre repère vectoriel). (Cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Connec...ncipal_bundle))

La donnée d'un tel champ définit la connexion. En pratique, une fois un champ de repères choisi, les coefficients de Christofell en chaque point définissent la fonction, soit où est une matrice représentant un élément de l'algèbre de Lie du groupe linéaire, c'est à dire une matrice carrée quelconque.

Bref, un choix quelconque (différentiable) des Christofell définit une connexion.

[Amanuensis]

ben pas forcément de ce que je crois comprendre.
Si je travaille, par exemple, sur V=f(P,T), le volume d'un système thermodynamique en fonction de la pression et de la température, alors il n'y a pas de métrique a priori, parler de distance ou d'angle ici n'a aucun sens (en tout cas aucun sens physique).

Il y a par contre une autre structure, une structure symplectique.

La variété est "munie d'une forme différentielle de degré 2 fermée et non dégénérée, appelée forme symplectique".

J'imagine que le choix de la connexion va être contraint par cette structure, peut-être un choix privilégié?

[Amanuensis]

Sans entrer dans les détails, une connexion sur le fibré des repères est un champ (différentiable) de fonctions linéaires qui à un vecteur associent un élément de l'algèbre de Lie du groupe linéaire (le groupe de Lie qui transforme un repère vectoriel en un autre repère vectoriel).

Pour clarifier en d'autres termes: qui à un déplacement infinitésimal (= un vecteur) associe une transformation linéaire inversible infinitésimale (= un élément de l'algèbre de Lie du groupe transformant les repères entre eux). Quand on se déplace "un peu", la connexion indique comment "se déforme un peu" le repère.

[Amanuensis]

En revenant à la question initiale, il me semble qu'il y a à discuter sur la notion de "surface courbe" du titre.

J'ai tendance à prendre ce terme comme signifiant "variété différentielle de dimension 2, telle que la connexion a une courbure qui n'est pas partout nulle", et j'ai répondu en conséquence.

Or, le contenu du message #1 semble parler d'autre chose.

déterminer la connexion pour une surface (ou hypersurface), décrite (au moins sur un certain domaine) par une fonction z=f(). Pour être le plus général possible, j'ai essayé sans métrique, ce qui s'est avéré infructueux au vu de mon niveau... alors j'ai triché, j'ai plongé ma surface dans un espace euclidien

Je ne vois pas trop comment la définition peut être autre que celle d'une (hyper)surface plongée dans une variété différentielle, avec des coordonnées . Mais si on se limite à cela, une connexion sur l'hypersurface peut être quelconque. La question (qui parle de "la" connexion), pour avoir un sens, doit donc porter sur une restriction, qui ne peut alors venir que de l'espace ambiant.

J'imagine que "triché" veut alors simplement dire étudier d'abord le cas où l'espace ambiant est euclidien, c'est à dire muni d'une métrique particulière, dont la connexion de Levi-Civita est plate, i.e., de courbure partout nulle. Et la connexion recherchée sur l'hypersurface semble alors être la connexion de LC pour la métrique induite.

La question plus générale pourrait être (mais je joue aux devinettes), si l'espace ambiant est muni d'une connexion, est-ce que cela définit univoquement une connexion sur l'hypersurface, et si oui laquelle?

Est-ce ce qu'il fallait comprendre? (Ce qu'il eut fallu que je comprenne...)

[Je n'ai pas trop d'idées immédiates sur la question ainsi posée, mais elle semble intéressante. Passer par la connexion vue comme dérivée covariante pourrait être une piste prometteuse, une adaptation assez directe du cas euclidien.]

[mach3]

désolé de ne pas avoir répondu plus tôt, beaucoup d'occupations en ce moment (déménagement), trop de choses en tête et pas assez de temps...

j'attaque depuis hier les chapitres sur la courbure du MTW et il sera question, dans certains, d'introduire le maximum de choses (géodésique, dérivée covariante, tenseur de Riemman, etc) sans introduire la notion de métrique. Du coup, je pense qu'après la lecture de ces chapitres, je pourrais revenir sur ce fil avec une nouvelle perspective.

merci pour vos participations et à bientôt peut-être.

m@ch3