Topologie de l'ordre

[invite0a45097e]

Bonjour.

Il est dit que la topologie de l'ordre sur un ensemble E totalement ordonné est celle qui a été engendrée par la réunion de B₁ = { (<-,x[, x€E } avec B₂ = { ]x,->), x€E } avec B₃= { ]x,y[, x,y€E } et avec l'ensemble vide où
(<-,x[ est l'ensemble des éléments de E strictement plus petit que x
]x,->) est l'ensemble des éléments de E strictement plus grand que x
]x,y[ est l'ensemble des éléments de E strictement compris entre x et y.

Ma question est la suivante : ne serait il pas possible de dire simplement que la topologie de l'ordre est celle engendrée par la réunion de B₃ avec l'ensemble vide puisque les éléments de B₁ et B₂ peuvent s'écrire comme réunion d'éléments de B₃ ?
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[minushabens]

L'ensemble vide est déjà dans B3 et de plus il est la réunion d'une famille vide d'éléments de B3 ou B1 ou B2. La topologie peut être engendrée par B3 ou bien par B1 et B2.