Fibre finie

[invite5357f325]

Bonjour, soit un groupe fini et un -module de dimension finie. L'algèbre des invariants est finiment généré par . Je voudrais montrer que la fibre de en 0 est finie. (En fait je voudrais montrer qu'elle est réduite à zéro mais si elle est finie alors elle est égale à 0.) Quelques idées ? Merci d'avance !
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[invitecbade190]

Bonjour,

Je crains de dire de grosses bêtises, parce que, pour être franc, je ne pige rien en théorie des invariants, mais une manière que je crois, intuitive de voir les choses, est que : et est fini si, le Cardinal de est inférieur ou égale à la dimension de : , et ce dernier je crois qu'il s'identifie à : via le théorème de factorisation de la représentation d'algèbres de groupe associé, je crois que c'est : , et qui si je ne m'abuse, a pour image : ... J'ai vu cette technique dans la définition de la conjecture de Tate qui est l'équivalente - adique à la conjecture Hodge. Mais, je crains les surprises, car je ne pije rien en théorie des invariants.

Cordialement.

[invitecbade190]

Pardon, ça peut ne pas fonctionner, mais si sont des polynômes, et se réduit à : , ça fonctionne, mais dans le cas général que tu définis, je ne sais pas. Je ne sais pas ce qui se fait en théorie des invariants.

[invite5357f325]

Merci, quelqu'un d'autre a une idée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Pour voir plus claire, le fameux théorème des polynômes symétriques qu'on apprend très jeune en algèbre est une conséquence directe de ton exo.
Rappelle toi ce que dit le théorème :
Si est un polynôme symétrique, alors, il existe un unique polynome tels que :
avec : : polynôme symétrique élémentaire pour allant de à .
Cela se traduit formellement par dire que : , avec : : le groupe symétrique sur lequel il agit, qui n'est autre que l'identification suivante par le théorème de factorisation : induite par l'action : définie par : , et donc, ( i.e : l'espace des classes disjointes s'identifie à l'espace des orbites par l'action de ).
Donc, ce que j'ai dit semble fonctionner aussi pour le cas général décrit par ton exo. C'est à dire que :

[invite5357f325]

chentouf : Le théorème des polynômes symétriques n'a pas grand chose à voir avec la question que je me pose.

Je n'ai pas réussi à avancer plus ceci dit ... Un début pourrait être de montrer que mais je ne sais pas si c'est vrai ( sur les exemples que je connais ça a l'air de marcher), et même si c'est vrai il existe des applications C^r -> C^r avec la dimension de la fibre strictement positive (par exemple une application constante), donc il y aurait encore un peu de travail.

[invitecbade190]

petrifie : Regarde ici : http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf , page : 11, Corollary : 4, et compare le résultat avec mes trois messages précédents et avec ce que tu demandes, .

[invite5357f325]

chentouf : encore une fois c'est un résultat général qui a peu de rapport avec ce que je demande, sauf si tu arrive à montrer que C[W]/(f_1,...,f_k) est un espace vectoriel de dimension fini mais ça revient quasiment à montrer que la fibre n'a qu'un nombre de points finis.

[invitecbade190]

Tu saisis maintenant l'idée. A toi de te débrouiller suivant le cours que tu suis chez toi, et voir comment prolonger ça aux algèbres de groupes et leur représentations.
Bonne nuit.

[0577]

Bonjour,

il est clair que les fibres de \pi sont des réunions d'orbites de G. Le point clé à montrer est qu'une fibre de \pi contient une seule orbite de G (puisque G est fini, cela implique la finitude de la fibre). C'est équivalent à montrer que pour tout point x de W, il existe une famille de fonctions G-invariantes dont le lieu d'annulation est exactement l'orbite de x (indication: fixons une base de W, et notons w=(w_1,...,w_n) les coordonnées associées. Alors w_1-x_1, w_2-x_2,...,w_n-x_n est une famille de fonctions dont le lieu d'annulation est exactement x).

[invitecbade190]

Bonjour,

... une fibre de \pi contient une seule orbite de G (puisque G est fini, cela implique la finitude de la fibre). C'est équivalent à ... pour tout point x de W, il existe une famille de fonctions G-invariantes dont le lieu d'annulation est exactement l'orbite de x (indication: fixons une base de W, et notons w=(w_1,...,w_n) les coordonnées associées. Alors w_1-x_1, w_2-x_2,...,w_n-x_n est une famille de fonctions dont le lieu d'annulation est exactement x).

Cela signifie tout simplement que : , comme j'ai expliqué au début, mais pourquoi tu ajoutes une indication de plus ? à quoi sert - elle ?

[0577]

Bonjour,

l'isomorphisme n'est pas correct en général (example: W=C, G=Z/2Z agissant sur W par x ->-x, alors C[W]/G=C[x]/(Z/2Z) est un étrange objet, sur lequel il n'y a même pas de structure naturelle d'algèbre, alors que C[W]^G=C[x^2]). L'énoncé correct, équivalent à la question initiale, est ,
i.e. le quotient ensembliste W/G peut être muni naturellement d'une structure de variété algébrique dont l'algèbre des fonctions est C[W]^G.

[invite5357f325]

Bonjour 0577,

merci de ta réponse ! Je vérifie si j'ai bien compris :

Si la fibre (disons pi^-1(lambda_1,...,lambda_r) est égale à une unique orbite, alors il existe une famille de fonctions G-invariantes qui s'annule exactement sur l'orbite (prendre les f_i - lambda_i). Réciproquement, s'il existe une telle famille pour tout point, prenons x dans W, h_i la famille associé, et y en dehors de l'orbite de x. Si pi(y) = pi(x) alors en particulier y \in Z(h_1,...,h_k) (car les valeurs des h_k sont déterminés par les valeurs des f_k qui engendrent les invariants) ce qui est en contradition avec l'hypothèse.

Pour revenir à l'exercice, je pensais prendre quelque chose comme . Il est clair que l'orbite de x est incluse dans les zéros de h_i. Si y n'est pas dans l'orbite de x, alors il existe une coordonnée j tel que y_j est différent de x_j. Mais c'est peut-être le cas d'autres points qui sont dans l'orbite de x, il faut donc que j'utilise que y n'est pas dans l'orbite de x. Je ne vois pas trop comment faire. Je continue à y réfléchir !