somme de sinus impairs

[christophe_de_Berlin]

bonjour,

J´ai le problème suivant: il s´agit de prouver que la somme suivante:

somme (n= 0 à infini) de sin(2n+1)x/(2n+1)

est égale à pi/4, pour 0 < x < pi

On évoque dans l´énoncé qu´il est déjà prouvé que:

(n= 0 à infini) de sin(nx)/(nx)

est égal à (pi - x)/2. Ca peut aider.

Bon j´ai essayé en dérivant le terme, donc la somme. Comme on obtient cos(2n+1)x, j´avais espéré trouver ensuite une méthode pour prouver que la somme de cos(2n+1)x est nulle, donc que la dérivée de la somme de sin(2n+1)x/(2n+1) étant nulle, somme de sin(2n+1)x/(2n+1) est constante, il suffirait alors de prendre un x, par exemple x = pi/2 pour trouver que le terme constant est pi/4.

Mais c´est justement mon problème: je n´ai pas réussi non plus à démontrer que somme de cos(2n+1)x = 0.

Donc je tourne en rond.

merci d´avance

christophe
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[indian58]

Développe en série de Fourier et regarde si ça ne t'aide pas.

[christophe_de_Berlin]

ben... c´est bête á dire, mais je suis pas censé connaitre les séries de Fourrier.

[indian58]

Euh...tu l'as chopé où ton exo??

[A voir en vidéo sur Futura]

[jeanlouisb]

De même qu'en calcul intégral pour pouvoir dériver sous somme une série il faut que la série des dérivées soit sommable .
Ce qui n'est pa le cas de cos(2n+1)x puisque somme de 0 à l'infini de cos(2n+1)x n'existe pas, vu que le terme général ne tends pas vers zéro!

[christophe_de_Berlin]

ben alors, on fait comment dans ces cas là?
Il doit bien y avoir un truc non?

J´ai essayé en disant que vu que somme (sin(nx)/n) = (pi-x)/2, et que ma somme recherchée est la somme des impairs, il suffirait de trouver la somme des pairs, c´est á dire somme(sin(2nx)/2n). Mais j´ai pas non plus trouvé cette somme.

Donc je tourne en rond.

[invite9b7da66e]

ben alors, on fait comment dans ces cas là?
Il doit bien y avoir un truc non?

Au premier coup d'oeuil j'ai pensé comme toi, qu'il faudrait séparer la somme sur n en somme des pairs et des impairs. On peut peut-être calculer la somme des pairs en passant le sin sous forme complexe, mais il est clair que des i vont géner ...

Autre chose, dans ton message initial :

(n= 0 à infini) de sin(nx)/(nx)

Si j'ai bien compris, ta somme part de 1 et il n'y a pas de x au dénominateur ?

[indian58]

Franchement, pour calculer la somme des sin(2nx)/2n, à part avec les séries de Fourier (comme tu connais le résultat, tu peux y arriver), je vois pas trop. Ah si, peut-être qu'en passant par les séries entières??

[invitee07a1737]

Quand on voit le développement de Taylor du sinus, on se dit que le fait d'avoir du sin(2n+1)/(2n+1) ne doit pas être très anodin...
Je n'ai pas trouvé par contre

[christophe_de_Berlin]

Si j'ai bien compris, ta somme part de 1 et il n'y a pas de x au dénominateur ?

non, elle part de 0

[invite9b7da66e]

non, elle part de 0

Super, rien de tel qu'une petite division par 0 !

[invite6b1e2c2e]

Enfin, sin(x) / x = 1 en 0, c'est bien connu.
Cf par exemple le développement en série entière de sin, ou l'écriture .

__
rvz, pour les portes ouvertes

[christophe_de_Berlin]

Super, rien de tel qu'une petite division par 0 !

Mais non enfin!! relis ma série:

somme (n= 0 à infini) de sin(2n+1)x/(2n+1)

Où vois-tu une division par 0?

[invite636fa06b]

Bonjour

C'est très agaçant, il doit y avoir un moyen sans passer par les séries de Fourier :
1 ça converge bien vers pi/4
2 c'est pas difficile à montrer avec les séries de Fourier
3 on devrait pouvoit y arriver en reconstruisant tout le raisonnement utilisé avec les séries de Fourier et en faisant des simplifications/court-circuits pour se limiter au problème spécifique.
4 j'ai l'intuition qu'il faudrait différencier sous le signe somme quelque part...
Malgré ces brillantes idées, j'ai tourné en rond sans aboutir

[invite71b1f7de]

Bonjour a tous

Je conseille d'observer que

sum [ sin(nx)/n] = x(Pi-x)/2

Puis , en coupant cette somme suivant les termes paires et impaires , on peut extraire la série recherchée .

Il nous reste donc :

sum [ sin((2n+1)x)/(2n+1)] = x(Pi-x)/2 - (1/2)*sum [ sin(2nx)/2n]

Le deuxieme terme est surment exprimable en fonction de x en utilisant encore l'enonce avec x->2x

[invite71b1f7de]

Pardon , il y a un (1/2) en trop dans le deuxieme terme a droite

[invite636fa06b]

C'était tellement simple. Comment passer à coté ???

[indian58]

Au début de ce topic, j'ai exprimé une idée quant à l'utilisation des séries entières. Effectivement, on peut calculer la série des sin(2n)/2n en la transformant en la série des sin(2n)x^n/n; en calcualnt cette série (on dérive)
et en l'évaluant en x=1 (après avoir prouvé la continuité...). On obtient le résultat voulu!!
D'ailleurs, on peut calculer de manière générale la série des sin(a*n)/an avec a réel, avec le même principe.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Tu peux détailler comment tu trouve la valeur de cette série ? Perso, je n'y arrive pas. Je ne vois pas d'EDO simple vérifié par f...

__
rvz

[christophe_de_Berlin]

bon ben ça y est, j´ai une réponse dont voilà les grandes lignes:

on écrit le développement en série entière de Arcsin:

x + 1/2*x^3/3 + .....(1*3*5...(2n-1)/2*4*6....2n)*x^(2n+1)/2n+1

on écrit la même chose en remplaçant x par sint. En plaçant la limite sous le signe somme, il est évidant que la série entiére converge vers t.

Ensuite on intégre le monstre entre 0 et pi/2.

int(sint).dt + int(1/2*sint^3/3.....
Vu que le monstre convergeait vers t, son intégrale de 0 á pi/2 converge vers pi^2/8

le terme général de cette série entière est:

int(0 pi/2) (1*3*5....(2n-1)/2*4*6....2n+1)*sint^(2n+1)/(2n+1) .dt

Or, et voilà le truc, on démontre par récurrence que:

Int(0 pi/2)sint^(2n+1)/(2n+1) .dt = 2*4*6...2n/3*5*7....(2n+1).

Donc si on remplace l´intégrale dans la série entière, les termes s´annulent mutuellement, et il reste comme terme général de la série entière 1/(2n+1)^2.

Voilà tout le truc. C´était pervers, mais tout le but de cet exo.

On a donc: somme (1/(2n+1)^2) = pi^2/8

ouf!

[christophe_de_Berlin]

Ah, j´ai oublié d´évoquer qu´à partir de là, c´est un jeux d´enfant de trouver la somme de la série de terme général 1/n^2.

[invite636fa06b]

Bravo !
Mais tu devrais quand même lire le post de akabus47 n° 16
Le but de cet exo était moins pervers que tu le dis !

[invite6b1e2c2e]

Euh...
Tu peux expliquer comment on trouve que ça vaut x(Pi-x)/2 ?

A part ça, la preuve de Christophe est très belle, mais très astucieuse. A garder précieusement sous la main pour de futurs devoirs ou colles...

__
rvz

[invite636fa06b]

Euh...
Tu peux expliquer comment on trouve que ça vaut x(Pi-x)/2 ?_
rvz

C'était dans l'énoncé (voir message 1)
NB akabus47 a mal recopié, c'est (Pi-x)/2

[invite6b1e2c2e]

Ok ok.

Mais en fait j'avais omis une autre objection à laquelle personne n'a apporté de réponse, ou alors, je ne l'ai pas lue, ce qui est toujours possible

__
rvz

[invite636fa06b]

Mais en fait j'avais omis une autre objection à laquelle personne n'a apporté de réponse, ou alors, je ne l'ai pas lue, ce qui est toujours possible

Je suppose que tu évoques le message d'indian58. La réponse m'intéresse également.

De toutes façons, je ne comprend plus rien : Christophe a posé un problème, il en résout un autre, avec brio mais sans rapport.
Quand à la "solution" d'indian58 telle qu'elle est présentée, elle calcule la série sin(2n)/2n qui n'a encore rien à voir..

[christophe_de_Berlin]

Bon ben je sais pas ce qui s´est passé, j´ai écrit un long message, mais apparemment, il a disparu ! Alors je recommence .

Voilà la solution, peut-être qu´il y en a des plus simples, mais cette démonstration était le but de l´exo que je viens de finir , en voilà les grandes lignes, sans rentrer dans les détails :

D´abord on écrit le développement en série entière de Arcsinx

S = x + ½ * x^3/3 + …..+ (1.3.5…..(2n-1)/2.4.6….2n)* x^(2n+1)/(2n+1)

On réécrit le tout en remplaçant x par sint

Pn(t ) = sint +…..etc.

Il est évident que si 0 <= t < pi/2, Pn(t ) converge vers t

Donc si on intègre le tout entre 0 et pi/2, sous le signe somme, on obtient :

Int(0 à Pi/2) sint.dt + …..Int(0 à Pi/2) (1.3.5…(2n-1)/2.4.6….2n) * sint^(2n+1)/(2n+1).dt….
= Int(0 à Pi/2) t
= Pi^2/8

Bon, et maintenant voilà le truc : on démontre facilement par récurrence que :

Int(0 à Pi/2) sint^(2n+1)/(2n+1).dt = 2.4.6....2n/1.3.5....(2n+1)

Si on remplace ça dans la formule de la série des intégrales, on obtient :

Somme (1/(2n+1)^2 = Pi^2/8

Du coup c´est facile d´en déduire la limite de la série de terme général 1/n^2.

Bon ben j´espère que mon texte ne va pas de nouveau être effacé

[invite636fa06b]

Christophe

C'est génial mais n'a rien à voir avec la question que tu avais toi-même posée.

[indian58]

Bon,c'est parti! (rmq, pour calculer la série des sin(2n+1)/(2n+1), il suffit de calculer la série des sin(2n)/(2n)!) .
Soit a un réel.
Considérons la série entière U(x)= de rayon de convergence R .
Alors, U est et U'(x)=. Dans ces
conditions U' est la partie imaginaire de ] donc après quelques calculs, on obtient U'(x)=
donc U(x)=
=
U(x)=

Or U(1) existe. Donc par le théorème de Dirichlet (qui peut se démontrer par une transfo d'Abel sur le reste de la série entière pour démontrer la convergence uniforme sur [0,R]), U est continue en 1 et donc,

aux erreurs de calcul près, on a:


EDIT : correction de la syntaxe tex : pas de retour chariot pour éviter les <br>. /martini_bird.

[invite6b1e2c2e]

Ok !

Bravo ! Quand je pense que je bloquais à trouver U ... Je devais être un peu dans la lune. En tout cas, c'est très élégant.

__
rvz