Géométrie

[doryphore]

Etant donné que j'enseigne la géométrie au collège, géométrie qui se base essentiellement sur les axiomes d'Euclide-Hilbert et que je n'ai eu malheureusement qu'une formation en géométrie qu'avec les axiomes du "vectoriel-affine", je voulais savoir ce qui permet de passer d'un système d'axiome à un autre.

En gros, par exemple, chez Euclide, une perpendiculaire est définie comme une droite qui intersecte une autre droite de telle sorte que tous les angles formés par cette intersection soient égaux.

Et un axiome révèle que "Tous les angles droits sont égaux".

Qu'est ce qui dans la géométrie vectorielle euclidienne permet de s'y ramener ?
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[invite4793db90]

Bonsoir,

il y a une section sur ce site consacrée aux Eléments d'Euclide: ça devrait t'intéresser.

Sinon, en géométrie affine, il n'y a pas de notion d'angle; il faut munir l'espace d'un produit scalaire pour le rendre justement euclidien.

Cordialement.

[doryphore]

Merci de ta réponse.

Il faut bien munir un espace de dimension 2 (fini) d'une métrique issue d'un produit scalaire pour en faire un espace euclidien.

En fait, je crois avoir à peu près réussi à répondre à ma propre question qui n'est d'ailleurs pas très bien exprimée.

L'axiomatique d'Euclide est basée sur le sensible, donc on définit un angle droit par ce que l'on voit. Une droite qui coupe une autre droite en formant 4 angles droits, il ne nous est pas possible d'imaginer autrement les angles droits car nous sommes des observateurs inclus dans cet espace.

En revanche, dans l'axiomatique vectorielle-affine euclidienne un produit scalaire étant donné (en gros deux vecteurs non colinéaires), deux droites perpendiculaires selon le produit scalaire choisi formeront 4 angles droits d'après la définition des angles à partir du produit scalaire.

Ainsi, ce qui définit la perpendicularité chez Euclide n'est qu'une conséquence dans la géométrie affine euclidienne.

Cordialement.

[inviteb47fe896]

J'interviens un peu tard, peut-être ; je dois dire que l'angle droit est aussi défini à partir de la mesure en considérant la "médiatrice d'un segment" comme étant l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment ; les axiomes de la "Congruence" permettent de démontrer que l'ensemble de ces points est une droite ; de là une définition de l'angle droit

[A voir en vidéo sur Futura]