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géométrie



  1. #1
    minidiane

    Unhappy géométrie


    ------

    Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice j'ai besoin d'aide:

    D'un point M de l'axe de deux cercles (extérieur à ces cercles) on mène une tangente à chacun d'eux. Montrer que la droite joignant les points de contact passe par l'un ou l'autre de deux points fixes.

    Je ne vois pas du tout comment faire

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : géométrie

    As-tu fait un dessin pour vérifier que c'est vrai ?
    Comme j'ai compris, ce point ne peut être que sur l'axe, par symétrie. Mais si le point d'origine des tangentes est sur un des cercles, la tangente est perpendiculaire, le point en question n'est manifestement pas là.
    Bizarre !
    Ou alors je n'ai rien pigé à l'énoncé ?

  4. #3
    minidiane

    Re : géométrie

    En fait je n'ai pas très bien compris l'énoncé j'ai fait un dessin mais je ne sais pas s'il est juste.
    J'ai tracé deux cercles disjoint une tangente pour chacun d'eux et l'axe radicale avec le point M dessus
    Mais après je comprend pas trop ce que je suis censé avoir

  5. #4
    danyvio

    Re : géométrie

    Citation Envoyé par minidiane Voir le message
    En fait je n'ai pas très bien compris l'énoncé j'ai fait un dessin mais je ne sais pas s'il est juste.
    J'ai tracé deux cercles disjoint une tangente pour chacun d'eux et l'axe radicale avec le point M dessus
    Mais après je comprend pas trop ce que je suis censé avoir
    De beaux triangles semblables en joignant par une droite le point tangeant à un cercle au point tangeant à l'autre cercle. Tu as plusieurs combinaisons (4) mais ce n'est pas un problème.

    Pour revenir à l'énoncé, le point fixe signifie qu'il ne change pas quand M se balade sur l'axe.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  6. #5
    minidiane

    Re : géométrie

    j'ai du mal à comprendre encore
    le point fixe j'ai compris maintenant mais le reste je ne vois pas je crois que j'ai pas bien compris l'histoire des tangentes

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    minidiane

    Re : géométrie

    personne ne peut m'aider?

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  10. #7
    danyvio

    Re : géométrie

    J'ai donné une réponse trop rapide concernant les triangles semblables. Le problème est + complexe que ce que j'imaginais au départ. J'aimerais bien la correction SVP
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  11. #8
    DSCH

    Re : géométrie

    Citation Envoyé par minidiane Voir le message
    D'un point M de l'axe de deux cercles (extérieur à ces cercles) on mène une tangente à chacun d'eux. Montrer que la droite joignant les points de contact passe par l'un ou l'autre de deux points fixes.
    Bonjour, cet énoncé me semble un peu bizarre, mais je ne suis pas sûr de bien le comprendre.

    Si l'on se donne un point M de l'axe radical des cercles et qu'on trace ensuite deux tangentes (une pour chaque cercle) à partir de ce point M, alors la droite joignant les points de contact, lorsque M varie sur l'axe radical, ne passe pas par l'un ou l'autre de deux points fixes : l'énoncé serait faux.

    Maintenant, si l'on se donne une seule droite, tangente aux deux cercles à la fois (et en supposant qu'on est dans le cas où les deux cercles sont situés dans deux demi-plans distincts), alors là, oui, il n'y a que quatre possibilités, et ces quatre tangentes communes forment deux paires de droites symétriques par rapport à l'axe radical ; on obtient alors pour chaque paire un point d'intersection situé sur l'axe… Mais cela ne semble pas correspondre à ton énoncé.

    Ton énoncé est-il accompagné d'une figure qui aiderait à le comprendre ? L'as-tu cité exactement ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  12. #9
    minidiane

    Re : géométrie

    Il n'y a pas de figure et je l'ai cité exactement oui
    Et je pense qu'il faut que cela marche pour tous les cas

  13. #10
    DSCH

    Re : géométrie

    Au temps pour moi, j'ai écrit n'importe quoi, en tout cas mon affirmation selon laquelle l'énoncé serait faux était péremptoire…
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  14. #11
    DSCH

    Re : géométrie

    J'avais tout bonnement oublié ce qu'on appelait « axe radical » de deux cercles, et entendais par axe la droite joignant les deux centres… c'est pourquoi je racontais n'importe quoi.

    Bon, j'ai fait une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique (GeoGebra) dans le cas où les cercles sont sécants (pour obtenir l'axe radical plus facilement), et je confirme expérimentalement que l'énoncé semble vrai : la droite joignant les points de contact passe par l'un ou l'autre de deux points fixes situé sur la droite joignant les deux centres. Plus précisément, dans le cas où l'on prend les deux tangentes « extérieures », ou les deux tangentes « intérieures », le point fixe en question est l'intersection des deux tangentes communes aux cercles. Dans le cas où l'on prend une « tangente intérieure » et une « extérieure », on obtient l'autre point fixe.

    J'essaie de joindre une image (c'est la première pièce jointe que j'envoie sur le forum, j'espère que ça va marcher), mais pour ce qui est de la démonstration, je ne suis pas sûr d'avoir le temps d'y réfléchir aujourd'hui (des tonnes de copies à corriger)…
    Images attachées Images attachées
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  15. #12
    minidiane

    Re : géométrie

    ok merci pour la figure cela va déjà beaucoup m'aider

  16. Publicité
  17. #13
    DSCH

    Re : géométrie

    Bon, et bien si les figures aident, je peux toujours en poster pour illustrer deux autres cas (cercles non sécants). Si jamais cela inspire des lecteurs…
    Images attachées Images attachées
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  18. #14
    minidiane

    Re : géométrie

    Merci pour ces figures cela va m'aider

  19. #15
    danyvio

    Re : géométrie

    J'étais arrivé aux mêmes figures que DSCH, mais je coince sur la démo...

    SVP, serait-il possible, quand vous aurez le corrigé, de donner au moins quelques indications ? Merci !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  20. #16
    minidiane

    Re : géométrie

    Voilà ce que j'ai trouvé:
    2 cercles C et C', supposons les sécants, de centre O et O' er de rayons R et R' (R<R'). D'un point M de l'axe radical, je mène MP (à gauche) tangente à C et MP' (à droite) tangente à C'. La droite PP' coupe OO' en T et recoupe C en R. OP est ppd à MP et O'P' est ppd à MP'.
    M étant sur l'axe radical, on a MP=MP' donc angle(MPP')=angle(MP'P) et par conséquent angle(OPP')=angle(O'P'P) (angles complémentaires).
    Le triangle OPR étant isocèle, angle(ORP)=angle(OPR)=angle(OP P').
    On en conclut que les triangles TOR et TO'P' sont semblables, et que ce qui montre que T est l'un des centres d'homothétie.
    Idem pour les autres tangentes

  21. #17
    danyvio

    Re : géométrie

    Merci pour ta réponse. Mais je ne comprends pas comment on peut affirmer, à partir de tes conclusions, (qui sont justes!) que T reste fixe quand M parcourt l'axe radical. En effet, les points P,R P' sont variables en fonction de la position de M.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  22. #18
    minidiane

    Re : géométrie

    En fait c'est parce que c'est un centre d'homothétie

  23. Publicité

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