Bonjour
Je me pose des questions et n'ai pas trop le niveau pour y repondre:
Soit un espace H hilbertien reel de dimension infinie. Puis je y definir des variable aleatoires du genre :
une variable aleatoire et
Ca me semble generaliser les variables normales multivariees - en dimension fini on retombe dessus. Mais est ce que ca existe deja ??
merci de vos conseils
Il faut peut etre munir H de la topologie faible, pour avoir un espace localement compact, mais à priori, ce que tu proposes me semble sensé. Cela me fait un peu penser à une mesure spectrale sur L2(\Omega, H), mais là, il faudrait voir concrétement ce qu'est ta variable aléatoire.
Salut modulaire !
Merci pour ta reponse. J'avoue ne pas savoir ce qu'est une topologie faible, je vais jeter un oeil sur wiki et autres. Par contre L^2(\Omega,H) je ne connais pas trop, mais je vois ce que ca doit etre. Par exemple dans le cadre des processus gaussien ou
Ce qui m'interesserait serait plutot \Omega \to H.
Sur google, il n'y a pas grand chose....
Bon, pour la topo faible, je peux te dire rapidement: on dit qu'une suite (généralisée) x(n) converge faiblement vers une limite L, si pour tout vecteur y élément de H, la suite des produits scalaires (x(n),y) converge vers (L,y).
(Exemple: choisis la suite des vecteurs d'une B.O.N de H, elle cv faiblement vers 0, mais bien sur pas en norme.)
Donc, tu vois qu'on peut parler d'intégrale faible, à valeurs dans un espace hilbertien, de maniére assez pratique. Pour les espaces de dimension finie, la topo faible est la meme que la topo normique, donc il n'y a pas cette distinction.
Tu pourrais aussi chercher du coté des noyaux autoreproduisants.
Voila quelques liens qui peuvent peut etre t'interesser.
www.math.jussieu.fr/~maurey/ts012/poly/mths.pdf
http://www.math.gatech.edu/~green/Sp...ral-theory.pdf
http://math.univ-lille1.fr/~suquet/A...RkhsRMirma.pdf
dans son cours de probabilités, Montfort définit une v.a. normale sur R^n par la propriété suivante: X est dite normale si pour tout vecteur u, u'X est une v.a. normale sur R. Il démontre ensuite un théorème d'existence et d'unicité. Ce que tu proposes est une généralisation à un espace de Hilbert: X est dit normal si pour tout u élément du dual (au sens des espaces de Hilbert), u'X est une v.a. réelle normale. Je ne sais pas si ça marche mais ça "sonne" bien. Il me semble qu'il y a un théorème de Riesz qui doit permettre de montrer l'existence d'une telle v.a. (c'est des vieux souvenirs)
Salut
merci pour vos reponses. Je vais jeter un oeil sur les poly. Celui a propos des espaces de hilbert me plait bien (en prepa on ne fait pas les espaces de dim infinies, en ecole d'ingenieur encore moins, alors apres C'est surtout de l'intuition sur les ev de dim finie dont je me sers).
A propos des noyaux reproduisant, c'est de la que viens mes problemes : on a un noyau
Je vais voir du cote de ce qu'ambrosio a dit, ca me semble aussi "sonne" bien
merci
++
quelques rajouts:
- le JE est une erreure de frappe et non une pousse d'ego
-
Salut,
Tu peux peut-être aussi aller voir du coté des opérateurs à noyau, cf Laurent Schwartz, Distributions par exemple. C'est très connu en analyse, notamment pour les opérateurs pseudodifférentiels, mais ça devient vite insupportablement technique. Je ne connais pas de bonne référence sur le sujet...
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rvz
Salut rvz
Pour les operateurs a noyaux, je pense avoir ce qu'il faut a propos des RKHS (du moins c'est suffisant pour ce que je veux faire, je crois). En gros, si k est definie positive symmetrique, alors il existe un unique RKHS dont k est le noyau. Pour ca, il faut passer par les valeurs propres de
si k est comme il faut, les vp ont une bonne tete et on peut construire le RKHS a l'ai des vecteurs propres.
Je me sers de "Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics" comme reference. J'imagines bien qu'aller voir de trop pres, ca va pas etre simple
Sinon, pas trop avance sur les v.a. dans un espace de hilbert quelconque, mis a part la remarque de ambrosio
merci pour vos remarques
a+
Ton probléme dépend en grande partie des propriétés du noyau k(x,y). S'il est assez sympa (c'est à dire un opérateur compact, par exemple), le spectre coincide avec les valeurs propres, et tu es ramené à une situation trés analogue à la dimension finie. En pratique, les noyaux sont même Hilbert-Schmidt, donc, entrent dans cette catégorie. Tu peux peut être commencer par regarder les opérateurs compacts, et leur spectre, puis voir si ton noyau est bien de ce type.
Effectivement, un opérateur symétrique compact est diagonalisable en base orthonormale, et donc son spectre sera discret et réél, avec 0 comme point d'accumulation. Du coup, tu auras que 0 est dans le spectre, mais n'est pas forcément une valeur propre. C'est les joies de la dimension infinie...
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rvz
rvz a raison, j'ai oublié de préciser que 0 n'est pas toujours valeur propre, mais pour les autres, ça marche. Je pense aussi, d'aprés ce que tu écris que ton opérateur est positif, donc symétrique, comme le dit rvz.
Salut
Le plus simple des noyaux c'est
En reprenant l'idee d'ambrosio, si je considere un x gaussien (centree et normalise pour pas se compliquer la vie) et y un vecteur tout bete de R^n, j'ai
Je fais un DL de k, j'interchange sommation et integrale (merci les exponentielles)
je pense que les autres termes sont nuls car, dans el cas gaussien les moments d'ordre plus grand que 2 sont nuls.
J'ai eu la flemme de calculer les termes, mais la moyenne de
