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variable aleatoire sur des espaces generaux



  1. #1
    GrisBleu

    variable aleatoire sur des espaces generaux


    ------

    Bonjour

    Je me pose des questions et n'ai pas trop le niveau pour y repondre:
    Soit un espace H hilbertien reel de dimension infinie. Puis je y definir des variable aleatoires du genre :
    une variable aleatoire et un espace d'evenement avec, j'imagine, une gaussienne generalise
    et un operateur lineaire sur H, positif, symetrique et defini

    Ca me semble generaliser les variables normales multivariees - en dimension fini on retombe dessus. Mais est ce que ca existe deja ??

    merci de vos conseils

    -----

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  3. #2
    modulaire

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Il faut peut etre munir H de la topologie faible, pour avoir un espace localement compact, mais à priori, ce que tu proposes me semble sensé. Cela me fait un peu penser à une mesure spectrale sur L2(\Omega, H), mais là, il faudrait voir concrétement ce qu'est ta variable aléatoire.
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  4. #3
    GrisBleu

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Salut modulaire !

    Merci pour ta reponse. J'avoue ne pas savoir ce qu'est une topologie faible, je vais jeter un oeil sur wiki et autres. Par contre L^2(\Omega,H) je ne connais pas trop, mais je vois ce que ca doit etre. Par exemple dans le cadre des processus gaussien ou
    et f(x) est une variable aleatoire (avec quelques petits axiomes pour que ca aille bien) verifiant - en gros -
    k etant une fonction symmetrique, defifine et positive.
    Ce qui m'interesserait serait plutot \Omega \to H.

    Sur google, il n'y a pas grand chose....

  5. #4
    modulaire

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Bon, pour la topo faible, je peux te dire rapidement: on dit qu'une suite (généralisée) x(n) converge faiblement vers une limite L, si pour tout vecteur y élément de H, la suite des produits scalaires (x(n),y) converge vers (L,y).
    (Exemple: choisis la suite des vecteurs d'une B.O.N de H, elle cv faiblement vers 0, mais bien sur pas en norme.)
    Donc, tu vois qu'on peut parler d'intégrale faible, à valeurs dans un espace hilbertien, de maniére assez pratique. Pour les espaces de dimension finie, la topo faible est la meme que la topo normique, donc il n'y a pas cette distinction.
    Tu pourrais aussi chercher du coté des noyaux autoreproduisants.
    Voila quelques liens qui peuvent peut etre t'interesser.

    www.math.jussieu.fr/~maurey/ts012/poly/mths.pdf

    http://www.math.gatech.edu/~green/Sp...ral-theory.pdf

    http://math.univ-lille1.fr/~suquet/A...RkhsRMirma.pdf
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  6. #5
    invite986312212
    Invité

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    dans son cours de probabilités, Montfort définit une v.a. normale sur R^n par la propriété suivante: X est dite normale si pour tout vecteur u, u'X est une v.a. normale sur R. Il démontre ensuite un théorème d'existence et d'unicité. Ce que tu proposes est une généralisation à un espace de Hilbert: X est dit normal si pour tout u élément du dual (au sens des espaces de Hilbert), u'X est une v.a. réelle normale. Je ne sais pas si ça marche mais ça "sonne" bien. Il me semble qu'il y a un théorème de Riesz qui doit permettre de montrer l'existence d'une telle v.a. (c'est des vieux souvenirs)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    GrisBleu

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Salut

    merci pour vos reponses. Je vais jeter un oeil sur les poly. Celui a propos des espaces de hilbert me plait bien (en prepa on ne fait pas les espaces de dim infinies, en ecole d'ingenieur encore moins, alors apres C'est surtout de l'intuition sur les ev de dim finie dont je me sers).

    A propos des noyaux reproduisant, c'est de la que viens mes problemes : on a un noyau et a chaque vecteur on associe ou H est un RKHS, espace de hilbert de dimension infinie (inclus dans ). JE me demandais alors : "si x est une va, que dire de "

    Je vais voir du cote de ce qu'ambrosio a dit, ca me semble aussi "sonne" bien

    merci

    ++

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  10. #7
    GrisBleu

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    quelques rajouts:
    - le JE est une erreure de frappe et non une pousse d'ego
    - est defini par


  11. #8
    rvz

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Salut,

    Tu peux peut-être aussi aller voir du coté des opérateurs à noyau, cf Laurent Schwartz, Distributions par exemple. C'est très connu en analyse, notamment pour les opérateurs pseudodifférentiels, mais ça devient vite insupportablement technique. Je ne connais pas de bonne référence sur le sujet...

    __
    rvz

  12. #9
    GrisBleu

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Salut rvz

    Pour les operateurs a noyaux, je pense avoir ce qu'il faut a propos des RKHS (du moins c'est suffisant pour ce que je veux faire, je crois). En gros, si k est definie positive symmetrique, alors il existe un unique RKHS dont k est le noyau. Pour ca, il faut passer par les valeurs propres de

    si k est comme il faut, les vp ont une bonne tete et on peut construire le RKHS a l'ai des vecteurs propres.

    Je me sers de "Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics" comme reference. J'imagines bien qu'aller voir de trop pres, ca va pas etre simple

    Sinon, pas trop avance sur les v.a. dans un espace de hilbert quelconque, mis a part la remarque de ambrosio

    merci pour vos remarques

    a+

  13. #10
    modulaire

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Ton probléme dépend en grande partie des propriétés du noyau k(x,y). S'il est assez sympa (c'est à dire un opérateur compact, par exemple), le spectre coincide avec les valeurs propres, et tu es ramené à une situation trés analogue à la dimension finie. En pratique, les noyaux sont même Hilbert-Schmidt, donc, entrent dans cette catégorie. Tu peux peut être commencer par regarder les opérateurs compacts, et leur spectre, puis voir si ton noyau est bien de ce type.
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  14. #11
    rvz

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Effectivement, un opérateur symétrique compact est diagonalisable en base orthonormale, et donc son spectre sera discret et réél, avec 0 comme point d'accumulation. Du coup, tu auras que 0 est dans le spectre, mais n'est pas forcément une valeur propre. C'est les joies de la dimension infinie...

    __
    rvz

  15. #12
    modulaire

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    rvz a raison, j'ai oublié de préciser que 0 n'est pas toujours valeur propre, mais pour les autres, ça marche. Je pense aussi, d'aprés ce que tu écris que ton opérateur est positif, donc symétrique, comme le dit rvz.
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

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  17. #13
    GrisBleu

    Re : variable aleatoire sur des espaces generaux

    Salut

    Le plus simple des noyaux c'est
    ou la matrice est positive, symetrique definie. Prenons l'identite par exemple

    En reprenant l'idee d'ambrosio, si je considere un x gaussien (centree et normalise pour pas se compliquer la vie) et y un vecteur tout bete de R^n, j'ai


    Je fais un DL de k, j'interchange sommation et integrale (merci les exponentielles)

    je pense que les autres termes sont nuls car, dans el cas gaussien les moments d'ordre plus grand que 2 sont nuls.
    J'ai eu la flemme de calculer les termes, mais la moyenne de me semble deja bien definissable.

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