Nombres complexes et Sommes

[invitef83dc734]

J'ai un DM à faire pour lundi prochain qui me pose quelques problèmes. Globalement je réussi à tout faire (de nombreuses question ne sont pas finies mais je pense être bien parti), mais il y a trois questions en particuliers qui me posent problème.
Voilà l'énoncé:
Soit n un entier naturel, on définit sur C le polynome P à coefficients complexes par: P(z) = (z+i) ^2n+1 - (z - i) ^2n+1

La première question nous demande de démontrer que P(z) = 2i * pour p allant de 0 à n de tous les 2p + 1 de 2n+1 * 8-1)^p * z^2(n-p)
Ce qui se démontre assez facilement avec le binôme de Newton.

Le problème c'est que je n'arrive pas à faire les trois questions suivantes. On nous dit que P(z) = a0 + a1*z + a2* z^2 + .... + a2n * z^2n
Puis les trois questions sont:
2. Déterminer les coefficients, a1 , a2 , a3, a2n-1 de P
3. Déterminer le coefficient a0 de P
4. Déterminer a2n

J'aurais réellement besoin d'un grand coup de main, il ne me reste que ces trois questions à finir et ça fait un bon moment que j'essaie sans aucun résultat.
Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Tu as la réponse dans le résultat de la première question, il suffit de comparer (d'identifier). Si tu ne vois pas bien regarde ce qui se passe pour n=3 et n=4, par exemple.

Bon travail !

NB : a0=P(0) te permet de vérifier.

[invitef83dc734]

Bonjour.

Tu as la réponse dans le résultat de la première question, il suffit de comparer (d'identifier). Si tu ne vois pas bien regarde ce qui se passe pour n=3 et n=4, par exemple.

Bon travail !

NB : a0=P(0) te permet de vérifier.

Tout d'abord merci de votre réponse ! C'est vraiment agréable que vous ayez pris votre temps à m'aider Néanmoins j'ai un peu de mal à faire le calcul avec n= 3 ou n=4.
Mais si j'ai bien compris, alors a0 = 2i
a1, a2,.... 2i * somme de tous les 2p + 1 dans 2n+1 * (-1)^p
et a2n -> 2i encore une fois.

Là franchement je ne suis pas vraiment sûr. À vrai dire j'ai des difficultés avec les calculs de sommes.

[gg0]

" alors a0 = 2i " Non ! C'est un peu plus compliqué.

Bon, commence par faire le travail pour n=1, c'est quand même facile ! Et en développant les coefficients binomiaux (C(3,1)=C(3,2)=3). Écris les calculs ici. Puis fais de même pour n=2.

rappel : les coefficients d'un polynôme sont donnés par l'écriture simplifiée du polynôme. Par exemple pour

les coefficients sont

Tous les autres coefficients (a₄, a₅, ..) sont nuls puisqu'il n'y a pas les puissances correspondantes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef83dc734]

" alors a0 = 2i " Non ! C'est un peu plus compliqué.

Bon, commence par faire le travail pour n=1, c'est quand même facile ! Et en développant les coefficients binomiaux (C(3,1)=C(3,2)=3). Écris les calculs ici. Puis fais de même pour n=2.

rappel : les coefficients d'un polynôme sont donnés par l'écriture simplifiée du polynôme. Par exemple pour

les coefficients sont

Tous les autres coefficients (a₄, a₅, ..) sont nuls puisqu'il n'y a pas les puissances correspondantes.

Cordialement.

Pour n = 1: P(z) = 6iz^2 - 6z - 2i.
Pour n = 2: P(z) = 10iz^4 - 20z^3 - 20iz^2 + 10z + 2i
Pour n = 3: P(z) = 14iz^6 - 42z^5 - 70iz^4 + 70z^3 + 42iz^2 - 14z - 2i

On remarque bien la forme a0 + a1z + .... + a2n*z^2n (les z^2n+1 semblent s'annuler à chaque fois).
Et il semble que les coefficients dépendent de si n est pair où impair. Ainsi on dirait que a0 = 2i ou -2i.
Pour ce qui est des coefficients a1 , a2, a3, ... Je n'arrive pas à trouver. Je crois bien que a va dépendre de i, mais je n'arrive toujours pas à le voir.

[gg0]

Bonsoir.

je ne comprends pas ce que tu racontes ! On pourrait croire que tu ne sais pas calculer.
"Pour n = 1: P(z) = 6iz^2 - 6z - 2i. " !!! Complétement incohérent avec ce que tu disais avoir fait au message #1, la question 1 où P n'a que des puissances paires de z.
Pour n=1, P(z)=(z+i)^3-(z-i)^3=z^3+3iz²-3z-i -(z^3-3iz²-3z+i ) = 6iz²-2i.

Pour n=2 et n=3 c'est tout aussi faux !

Donc commence déjà par calculer correctement ! Une fois développé correctement (z+i)^n, le développement de (z-i)^n se fait par copie et remplacement de i par -i. Ensuite, pour a0, il y a une règle simple, déjà donnée dans le résultat de la première question (mais tu ne l'as pas vraiment compris, peut-être même pas vraiment regardé).

[invitef83dc734]

Bonsoir.

je ne comprends pas ce que tu racontes ! On pourrait croire que tu ne sais pas calculer.
"Pour n = 1: P(z) = 6iz^2 - 6z - 2i. " !!! Complétement incohérent avec ce que tu disais avoir fait au message #1, la question 1 où P n'a que des puissances paires de z.
Pour n=1, P(z)=(z+i)^3-(z-i)^3=z^3+3iz²-3z-i -(z^3-3iz²-3z+i ) = 6iz²-2i.

Pour n=2 et n=3 c'est tout aussi faux !

Donc commence déjà par calculer correctement ! Une fois développé correctement (z+i)^n, le développement de (z-i)^n se fait par copie et remplacement de i par -i. Ensuite, pour a0, il y a une règle simple, déjà donnée dans le résultat de la première question (mais tu ne l'as pas vraiment compris, peut-être même pas vraiment regardé).

Oui excusez moi, je me suis emmêlé lors du développement de (z-i) pour n=1 et j'ai ensuite reporté ma faute partout...
Donc sa devrait me faire:
Pour n= 2: 10iz^4 - 20 iz^2 + 2i
Pour n= 3: 14iz^6 - 70iz^4 + 42iz^2 - 2i
(et pour n= 1: 6iz^2 - 2i)

Tout d'abord pour a0, je crois que je me suis très mal expliqué (ce qui est habituel et que j'essaie de corriger) parce que je pense avoir compris. Comme vous l'avez vous même dit, la question 1. nous permet de voir que P(0) = a0. En remplaçant on obtient a0 = 2i^2n+1. Or 2n+1 ne peut prendre que des valeurs entières impaires à partir de 3, ce qui en fonction du n choisi va nous donner -i ou i (donc -2i ou 2i).

Pour a1, a2... J'aurais dit que l'on aurait quelque chose de similaire à 2i * (-1)^... * les k parmi 2n+1, en partant de ce que j'ai trouvé comme réponse à la question 1. Mais je ne pense pas que se soit ça.

[gg0]

Tu vas encore trop vite.

Pour a0, dans quel cas est-ce que ça fait 2i, dans quel cas -2i ? ce que tu réponds ne sert à rien.
Pour a1, combien vaut-il pour n=1,2,3 ? Et dans le cas général ? Et pour a2 ?

[invitef83dc734]

Pour a0 ça fait 2i si n est un nombre pair, et -2i si n est impair. Répondre a0 = 2i ^2n+1 ne suffirai pas ?

Et a2 =
6i pour n=1
-20i pour n = 2
42i pour n= 3
Ce qui ferait dans le cas général -2*i^(2n+1) * le k parmi (2n+1) avec k = 2 pour a2. Je ne sais pas si vous allez bien comprendre mais pour n=3 par exemple ça nous ferait 2i * 21 = 42i. Et j'ai vérifié que ça marche pour n= 1 et n=2.

Pour n = 1,2,3 je crois que a1 est nul car nous n'avons pas la puissance correspondante (d'après l'énoncé on devrait avoir a1*z, or il ne reste que des puissances paires).

[invitef83dc734]

Ou sinon pour a0:
P(0) = a0
i^2n+1 - ( - i^2n+1) = a0
(-1)^n * i - (-1)^n * (i) = a0
et donc a0 = 2i*(-1)^n

[gg0]

Ok pour a0.

Pour a1 et a2, tu as tout ce qu'il te faut dans la question 1, et "-2*i^(2n+1) * C(2,(2n+1))" est une réponse qu'on peut simplifier puisque le coefficient binomial se calcule sans difficulté (pourquoi faut-il que je te le dise ? paresse ou inconséquence ??).

Ces questions sont simplement une demande de lecture intelligente du résultat de la question 1 !!!

[invitef83dc734]

Merci de votre réponse même si j'avais réussi à trouvé juste après (les coefficients impairs nuls, a2n = 2i*(2n+1), etc...) .