[TS] Equations complexes et sommes trigonométriques.

invite9a322bed · 05/04/2009, 21h15

Bonsoir,

Je suis amené à résoudre cette équation :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

puis de déduire une expression simple de :

$\text{[math]}$

Donc, pour la première, j'ai posé $\text{[math]}$ donc l'équation se transforme en $\text{[math]}$ . On démontre facilement que $\text{[math]}$ . Ce qui nous donne : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ .

Est ce juste pour la première question ?

invite57a1e779 · 05/04/2009, 21h25

Bonjour,

L'idée est bonne, mamis il y a une erreur sur la fin :

Envoyé par mx6

Donc, pour la première, j'ai posé $\text{[math]}$ donc l'équation se transforme en $\text{[math]}$

C'est-à-dire $\text{[math]}$ , dont la résolution ne conduit pas aux solutions que tu donnes.

invite9a322bed · 05/04/2009, 21h52

On a $\text{[math]}$ , donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .
Alors, avec ta méthode, on aboutit à $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$
c'est à dire que : $\text{[math]}$ .

C'est la même chose non ?

invite6db5b418 · 05/04/2009, 21h56

Envoyé par God's Breath

Bonjour,

L'idée est bonne, mamis il y a une erreur sur la fin :

C'est-à-dire $\text{[math]}$ , dont la résolution ne conduit pas aux solutions que tu donnes.

ça nous fait donc $\text{[math]}$

C'est ça ?

Edit : en fait je tombe comme toi mx6

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 05/04/2009, 22h03

Envoyé par mx6

$\text{[math]}$ .

C'est la même chose non ?

Dans ton premier message, il manquait le signe "+"... mais c'était peut-être une faute de frappe.

Ensuite, n'oublie pas que $\text{[math]}$ .

invite9a322bed · 05/04/2009, 22h25

Effectivement erreur de frappe.

Donc ca me fait :

$\text{[math]}$

.

On a $\text{[math]}$ soit : $\text{[math]}$

Est ce que l'idée est bonne ?

invite57a1e779 · 05/04/2009, 22h34

Envoyé par mx6

$\text{[math]}$

Je noterais plutôt $\text{[math]}$ , et on veut calculer le produit $\text{[math]}$ , ce qui se fait plus naturellement en utilisant cette forme, qu'en séparant la partie réelle et la partie imaginaire qui se prêtent mal aux multiplications.

invite9a322bed · 05/04/2009, 23h04

Le produit des racines $\text{[math]}$ -ième étant $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ .

C'est à dire que $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

C'est pas bon

invite9a322bed · 06/04/2009, 23h42

God's Breath si t'es là ! J'ai toujours besoin d'aide, je veux que tu me confirmes si c'est bon jusque là !

**bubulle_01** · 07/04/2009, 00h17

Salut !

Tu veux une expression simple du produit des $\text{[math]}$ en sachant que tous les réels $\text{[math]}$ sont solutions d'une certaine équation.

Essaye tout d'abord d'exprimer le produit des $\text{[math]}$ en te servant de l'équation, et revient alors à l'expression du produit que tu cherches

invite57a1e779 · 07/04/2009, 14h48

L'équation $\text{[math]}$ pour racines les $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Par calcul direct :
$\text{[math]}$

Par relations coefficients-racines : $\text{[math]}$

La comparaison de ces deux valeurs de $\text{[math]}$ fournit celle de $\text{[math]}$ .

invitebe08d051 · 07/04/2009, 15h20

Envoyé par bubulle_01

Salut !

Tu veux une expression simple du produit des $\text{[math]}$ en sachant que tous les réels $\text{[math]}$ sont solutions d'une certaine équation.

Les $\text{[math]}$ ne sont pas des réels

**bubulle_01** · 07/04/2009, 19h14

Envoyé par mimo13

Les $\text{[math]}$ ne sont pas des réels

Oui autant pour moi, remplacer "réels" par "complexes" ^^

invite9a322bed · 07/04/2009, 21h53

Envoyé par God's Breath

Par relations coefficients-racines : $\text{[math]}$

C'est quoi cette relation ? Merci

invite57a1e779 · 07/04/2009, 22h03

On a $\text{[math]}$ . On développe les deux membres et on identifie les coefficients obtenus.

En particulier le terme constant (que l'on obtient facilement en évaluant pour $\text{[math]}$ ) fournit la valeur de $\text{[math]}$ .

invite9a322bed · 07/04/2009, 22h13

Je ne comprend pas très bien désolé :'(

Si j'ai capté un peu quand on développe, on a autant de $\text{[math]}$ à droite et à gauche de l'égalité, donc ils s'annulent. (Comment peut on le deviner ?)

Puis je ne comprend pas d'où vient le $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 07/04/2009, 22h22

Si l'équation du second degré $\text{[math]}$ a pour racines $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors :
$\text{[math]}$

En identifiant on obtient $\text{[math]}$

Si l'équation du troisième degré $\text{[math]}$ a pour racines $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors :
$\text{[math]}$

En identifiant on obtient $\text{[math]}$

Tu fais la même chose avec ton équation.
Tu écris $\text{[math]}$ et tu développes.

Comme tu ne t'intéresses qu'au produit des racines $\text{[math]}$ , tu n'as besoin que du terme constant que tu calcules en évaluant pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ .

invite9a322bed · 07/04/2009, 22h47

Trop fort !!!!! merci beaucoup !!

Quand on fixe z=0, ca ne pose pas de problème; dans quels cas, puis je utiliser cette astuce ?

Très fatigué maintenant, je reviens demain, bonne soirée !

invitec317278e · 07/04/2009, 22h55

je ne pense pas que le fait de trouver le terme de degré 0 d'un polynôme en évaluant en 0 puisse être qualifié d'astuce, c'est quelque chose dont il faut avoir conscience...

invitebe08d051 · 08/04/2009, 02h26

Bonjour
Je crois que ces relations s'appellent les relations de newton (mais j'ai pas une bonne mémoire) ou tout simplement relation entre coefficients et racines pour plus d'info voir le lien suivants:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Relatio...nts_et_racines
P.S: Toue les relations présentes dans la généralisation sont démontrables par récurrence

invite2220c077 · 08/04/2009, 13h41

Salut,

Non, celles-ci se nomment les relations de Viète. Les relations de Newton concernent les sommes des puissances des racines d'un polynôme

invite9a322bed · 08/04/2009, 21h56

Je trouve en fin de compte :

$\text{[math]}$ .

Ce qui me dérange, c'est la présence d'un nombre imaginaire dans le résultat.

Et entre nous, je ne suis toujours pas convaincu du $\text{[math]}$

invitec317278e · 08/04/2009, 22h01

Où est le problème du z=0 ?

pour le nombre imaginaire, je n'ai pas regardé, mais il y a l'air d'y avoir simplification entre le i et le e^..

invite9a322bed · 08/04/2009, 22h09

z est une variable, pourquoi la fixe t on ? je ne sais pas mais ca me dérange, je ne sais pas d'ou ca vient !

invitec317278e · 08/04/2009, 22h14

c'est pas qu'on la fixe, c'est qu'on prend la valeur d'une fonction, d'un polynôme, en un point donné.

A quoi servent les fonctions si on a pas le droit de se demander à quoi elles sont égales en certains endroits ?

invitec317278e · 08/04/2009, 22h15

Autre chose : je trouve bizarre que tu aies du 2i^n-1 au numérateur...étant donné les formules d'euler, je l'aurais plutôt vu au dénominateur, perso.

invite57a1e779 · 08/04/2009, 22h24

Envoyé par God's Breath

Par calcul direct : $\text{[math]}$

Par relations coefficients-racines : $\text{[math]}$

On a $\text{[math]}$ donc

$\text{[math]}$

et

$\text{[math]}$

la comparaison avec $\text{[math]}$ fournit :

$\text{[math]}$

invite9a322bed · 08/04/2009, 23h02

J'ai compris là Thorin merci

Bravo God's Breath

! Y avaient plein de petites astuces pour tomber dans une formule crédible !

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