Equations de nombres complexes... complexes ?

[invitebc732730]

Bonjour,

J'ai des équations avec des nombres complexes... assez complexes, c'est le cas de le dire. Ça fait déjà deux jours que je suis dessus... J'ai trop honte, en TS j'avais aucun problème avec les complexes et là j'y arrive pas... Je ne pense pas qu'on puisse résoudre ça graphiquement... Je voulais utiliser la méthode de Horner en développant tout, mais le problème c'est qu'il n'y a pas de solution évidente... Peut-être faut-il utiliser les exponentielles mais comment ? Et du coup je ne sais pas comment faire... Je ne veux pas les réponses (parce qu'elles sont données) mais juste une petite indication sur la manière de procéder parce que franchement, je ne vois pas du tout comment faire. Alors voici ces fameuses équations :

1ère équation à résoudre : (z²+1)²+ (z²-z-1)²=0

2e équation à résoudre : z^4 + (1+z)^4 = 0

Merci d'avance pour votre aide.
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[Jon83]

Bonjour!

Dans les deux cas, on tombe sur des équations du 4ème degré complète!
Donc, à part les méthodes de Ferrari, de Tschirnhaus, de Sotta et Cie, je ne vois pas?
Si quelqu’un a une astuce.....

[invite03f2c9c5]

Factoriser, avec l’identité remarquable ?

[Jon83]

En faisant le changement de variable on arrive, par résolution d'équation du 2ème degré aux 4 solutions:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On peut noter que dans le 1er cas, on est face à une relation du genre (a/b)² = - 1 donc a/b est une des racines carrées de -1, soit i ou - i
Dans le second (a/b)^4 = - 1 donc a/b est une des racines 4èmes de -1, soit une des 2 racines carrées de i et -i. Un petit dessin et tu as la réponse.

[Jon83]

Factoriser, avec l’identité remarquable ?

OK, ça marche pour la première équation:



Il n'y a plus qu'à résoudre deux équations triviales du 2ème degré:

[Jon83]

On peut noter que dans le 1er cas, on est face à une relation du genre (a/b)² = - 1 donc a/b est une des racines carrées de -1, soit i ou - i
Dans le second (a/b)^4 = - 1 donc a/b est une des racines 4èmes de -1, soit une des 2 racines carrées de i et -i. Un petit dessin et tu as la réponse.

Désolé, mais je ne vois pas la forme a/b ???

[invitee27a8b07]

donne , d'où . Idem si tu as des puissances quatrièmes au lieu des carrés.

[Jon83]

donne , d'où . Idem si tu as des puissances quatrièmes au lieu des carrés.

Evidemment..et c'est plus élégant!!! Je dois commencer à fatiguer!!! ... Merci

[Jon83]

Bon, une fois que l'on a vu que je ne vois pas où est la simplification ???

[invitea3eb043e]

Ca revient au même évidemment et heureusement mais ça montre bien qu'il ne faut surtout pas développer les puissances.

[Jon83]

Dans le second (a/b)^4 = - 1 donc a/b est une des racines 4èmes de -1, soit une des 2 racines carrées de i et -i. Un petit dessin et tu as la réponse.

Bonjour!
tu parles d'un petit dessin qui donne la réponse... de quoi s'agit-il?

[invitea3eb043e]

Le petit dessin est celui pour trouver la racine carrée de i. On voit que c'est un nombre de module 1 et d'argument pi/4 (ou alors l'opposé). On trouve que ça vaut (1 + i)/racine(2) ou l'opposé.

[Jon83]

Le petit dessin est celui pour trouver la racine carrée de i. On voit que c'est un nombre de module 1 et d'argument pi/4 (ou alors l'opposé). On trouve que ça vaut (1 + i)/racine(2) ou l'opposé.

Ok!
Merci à tous pour votre aide.
Au revoir