Bonsoir,
ça va faire 3 heures que je me prends la tête sur un exercice : voilà, j'ai (fn) une suite de fonctions continues sur [0,1] qui converge simplement en croissant vers une fonction f continue sur [0,1], et je dois montrer que la famille (fn) est équicontinue. Et j'ai beau chercher, je n'aboutis à rien ! Donc si quelqu'un a une idée, je prends
D'avance merci
Dans l'équicontinuité tu dois manipuler /fn(x)-fn(y)/ (j'écris sur Mac il n'y a pas de barre verticale sur ce foutu clavier donc je note /x/ la norme de x). Puisque la fuite fn converge, tu peux faire intervenir la limite f en écrivant fn(x)-fn(y)=fn(x)-f(x)+f(x)-f(y)+f(y)-fn(y) et borner chaque terme à partir d'un certain rang. Il reste à prendre le max d'un nombre fini de termes.
Mais comme je n'ai qu'une convergence simple, le rang à partir duquel je vais majorer va nécessairement dépendre de x et de y, donc ça risque de poser problème non ?
c'est peut-être ici qu'il faut utiliser le fait que la limite est croissante. En fait les fonctions fn sont coincées entre f1 et la limite f. f1 et f étant continues et l'intervalle [0,1] compact tout est borné.
