Dérivation sous le signe integral & co : avec des fonctions complexes

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Ma question est simple : les théorèmes de dérivation sous le signe intégral qu'on utilise avec les fonctions réelles ainsi que les interversions limites intégrales restent ils valable si on travaille avec des fonctions dépendant de la variable complexe ?

Merci !
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[invite8f6d0dd4]

En fait j'en profite pour poser la question que je me pose actuellement.

Je cherche à donner une condition suffisante pour que la fonction :

soit analytique.

Du coup j'ai voulu appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme à l'integrande complexe en essayent de vérifier que :



(qui correspond à la dérivée au sens des fonctions complexes de l'intégrande) est bien intégrable avec une fonction indépendante de .

Du coup j'ai voulu donner une condition suffisante pour que la fonction soit dérivable sur |R au sens des fonctions complexes, ce qui revient à prouver qu'elle est dérivable sur tout segment [-R;R] de |R.

Et donc que :

est majoré par une fonction intégrable sur |R.

Ce sera par exemple le cas si décroit comme à l'infini (je suppose que diverge jamais localement sur |R).

Mais en fait en écrivant tout ça j'ai l'impression qu'on peut pas appliquer le théorème comme on le ferait pour les fonctions réelles car là j'ai quelque part montré que la fonction était dérivable sur |R (donc en prenant z=x) ce qui n'est pas équivalent à dire qu'elle est analytique sur |R.

Donc on peut pas appliquer le théorème aux fonctions de |C ? Ai-je raison ?

Du coup comment pourrait-on faire pour regarder si ma fonction chi est analytique ?

Merci.