exercice sur le théorème des restes chinois

[invite2ae793a3]

Bonjour ,

énonce de l'exercice :

M.kanga vit en France et rend regulirement visite à sa famille en France chaque 7 mois . Sa soeur marie vit , elle , au Canada et rend visite à la famille tous les 10 mois . Sachant qu'en 2013 , M. Kanga est en juillet et , Mme Sery en Août.
1.Dire dans combien de mois M.Kanga et sa soeur se verront en C.I
2.dire combien de mois se sont déjà passés quand ils se sont vus pour la dernière fois en C.I

je ne comprend pas comment obtenir le système de ce sujet ,

merci d'avance pour votre aide
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[Resartus]

Bonjour,
Déjà, un effort de relecture de votre message n'aurait pas été superflu! (on a la possibilité de corriger son texte sur le forum pendant 5 mn)

Mon interprétation après corrections est que M.Kanga visite sa famille en COTE D'IVOIRE (et pas en France) chaque 7 mois, que Mme Sery est en réalité MARIE sa soeur, qu'elle va en cote d'ivoire tous les 10 mois, et qu'ils étaient en COTE D'IVOIRE lui en Juillet 2013 et elle en Aout 2013.

Pour la résolution, on constate que 7 et 10 sont premiers entre eux.
Ensuite, on peut écrire que, en Aout 2013, le nombre de mois écoulés par rapport à la dernière fois qu'ils était ensemble en coté d'ivoire est congru à 1 modulo 7 et à 0 modulo 10
La suite du calcul se fait selon la méthode des restes chinois...

[invite2ae793a3]

on peut écrire que, en Aout 2013, le nombre de mois écoulés par rapport à la dernière fois qu'ils était ensemble en coté d'ivoire est congru à 1 modulo 7 et à 0 modulo 10

merci pour ta réponse mais c'est juste ceci que je n'ai pas compris sinon j'ai déjà la correction , si tu peux mieux être explicite s'il te plait

[Resartus]

Bonjour,

Pour les équations, si on appelle T le temps écoulé depuis la dernière visite commune :
M.Kanga va visiter tous les mois multiples de 7 donc tels que :T =0 (mod 7) (T congru à 0 modulo 7)
Marie visite tous les mois multiples de 10 : T tq T=0 (mod10)
Appelons T1 Aout 2013. On sait que c'est la visite de Marie donc T1 =0(mod 10), mais Juillet 2013 c'était la visite de Kanga donc (T1-1) =0 (mod7) soit encore T1=1(mod 7)
T1 est donc congru à 0 modulo 10 et à 1 modulo 7
Ensuite on applique la méthode des restes chinois (mais je vais le faire d'une manière qui n'est pas peut-être pas exactement que vous avez vue) :
10 et 7 sont premiers entre eux et le ppcm est 70
10 =3(mod 7) et 7=7 (mod 10)
On cherche A tq 3A=1(mod 7) on trouve 5 (5*3=15) et B tq 7B=1(mod 10) on trouve 3 (3*7=21)
On multiplie par les restes (ici 1 et 0):
1*A*10+0*B*7=50
Donc T1 valait 50 : en Aout 2013 cela faisait 50 mois depuis leur visite commune, et il reste 20 mois avant leur prochaine.

[A voir en vidéo sur Futura]