base des fonctions périodiques

[theophrastusbombastus]

Bonsoir,
juste une petite question a propos des séries de Fourier. Si on considère la famille de vecteur , je voudrais démontrer qu'elle forme une base orthonormal sur l'espace des fonctions continues et périodiques.

On définit le produit scalaire comme

Avec ça c'est évident que est orthonormal. J'ai trouvé une jolie démonstration pour montrer qu'elle est libre (en partant du principe que l’opérateur dérivée admet comme vecteur propre, donc la base propre composé de est libre... enfin ca me semblait convainquant)

il manque donc, pour prouver que c'est une base, que cette famille soit generatrice. Le theoreme de Dirichlet est il suffisant ou y a t-il un moyen plus "rigoureux" pour arriver a cette conclusion (ou plus élégant) ?

je vous remercie d'avance pour vos réponses.
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[gg0]

Bonjour.

Attention, il s'agit d'une "base hilbertienne", pas d'une base. Donc pas une famille génératrice. Bien revoir la différence.

Cordialement.

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
merci de votre réponse, en effet une simple recherche sur "base hilbertienne" m'a permis de trouver ce qui me manquait dans la compréhension du sujet. Il n'y avait pas besoin de plus !

Cordialement