Aide exo fonctions periodiques

[invitecdea0bd6]

Bonsoir,

J'ai un problème avec un exercice. Je dois trouver si la fonction suivante est périodique ou si elle ne l'est pas :

f(x)= cosx + cos rac2 x + cos rac3 x
(rac=racine)

Mais je n'ai aucune idée de la marche à suivre. Est-ce-que quelqu'un pourrait me donner une piste ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invite0022ecae]

f(x)= cosx + cos rac2 x + cos rac3 x
(rac=racine)

c'est cosrac(2x) ou cos rac(2)x ou pour être plus clair, la racine c'est pour 2 ou pour 2x

[invitecdea0bd6]

c'est cos (rac2) x

[invitecdea0bd6]

toc toc, il y a quelqu'un ?????????????????????
S'il vous plaît, je veux juste un début de piste

[A voir en vidéo sur Futura]

[VegeTal]

si ta fonction est T-périodique alors f(x+T) = f(x)

comme tu sais que la période de cos c'est essaye de voir si le fait de rajouter des racines change la période ou pas.

Je rajouterais aussi f(3T) = f(2T) = f(T)...

[invitecdea0bd6]

tu pourrais expliciter "rajouter des racines" ?
tu veux dire, par exemple, cos (rac2) x +rac2 ? ou bien je n'ai rien compris

[VegeTal]

Tout d'abord mettons nous d'accords :

tu entends bien ou ?

Ensuite une période, je pense que ça ne te pose pas trop de problème :




essaye de voir si admet la même période que cos(x) sinon tu peux tout de suite conclure que f n'est pas T-périodique.

[invitecdea0bd6]

je sais pas si c'est bon mais je trouve que les trois termes sont 2pi périodiques.

A ce moment là, comme les trois ont la même période alors la fonction f(x) est 2pi périodique, c'est bien ca ?

[VegeTal]

Sauf erreur de ma part oui. Comment as tu démontré ton résultat ?

[invitecdea0bd6]

en fait j'ai fait :

cos((rac2)x+2pi)=cos((rac2)x) * cos(2pi) - sin((rac2)x)* sin(2pi)

cos(2pi)=1 et sin(2pi) =0

C'est bon ou il faut passer par une autre méthode ?

[VegeTal]

Non c'est bon

[Flyingsquirrel]

cos((rac2)x+2pi)=cos((rac2)x) * cos(2pi) - sin((rac2)x)* sin(2pi)

cos(2pi)=1 et sin(2pi) =0

Attention, il y a une différence entre et !

Appelons la fonction définie sur par . Pour prouver que cette fonction est -périodique* il faut montrer que pour tout réel , . Mais , l'égalité à prouver est donc et non pas .

(*) En fait n'est pas -périodique mais -périodique.