[2nde]- Inéquations équivalentes

[inviteb4ebd1a1]

Bonjour à tous.

Je suis face à une question de mon dm de maths à rendre pour le 22 Janvier 2009. J'ai déjà gribouillé 6 pages pour ne rien trouver, c'est pour cela que je viens faire appel à vos connaissances.


Je dois montrer que l'inéquation

425 x² - 297 ≥ - 34x + 396
___5x - 3_________4 - x

est équivalente à l'inéquation

x (x - 3) ( 7 - 5x) ≥ 0
(5x - 3) ( 4 - x)


Je suppose que par une certaine factorisation de l'inéquation de départ je peux aboutir à l"inéquation finale et ainsi prouver leur équivalence.

J'ai toutefois remarqué que 99 apparaissait dans les deux membres de l'inéquation de départ

297 = 99*3
396 = 99*4

Mais je n'arrive pas a factoriser.


J'ai besoin de vous. Merci
-----

[invitea3eb043e]

Ca revient à dire que si a > b alors a-b>0
Pas d'autre choix que de développer et factoriser, ce qui se fait bien si x est en facteur.
Ton facteur 99 est une coïncidence qui n'apprend rien en fait (c'est quand même ce qui fait qu'il n'y a pas de terme constant quand tu développes).

[invite652ff6ae]

C'est vrai que c'est du calcul un peu énervant, mais pas insurmontable

L'idée (comme le dit Jeanpaul) est de faire passer le terme à droite de l'autre côté puis de mettre au même dénominateur ( qui est (5x-3)(4-x)) afin de pouvoir additionner les deux termes et avoir la forme .
(A pouvant être un nombre monstrueux )

Ensuite tu développes x(x-3)(7-5x) (appelons le B) et tu montres qu'il existe un nombre entier qui lie A et B, (si mes calculs sont justes tu trouves que A = 85*B), ce qui montre que les inéquations sont équivalentes car est équivalent à

[invitea84d96f1]

Salut,
Ton exercice paraît difficile à cause des grands coefficients. Il te faudra simplement un travail propre et sans distraction.
1) d'abord, quel que soit le signe de (4-x) tu peux multiplier le 1^er membre par (4-x)/(4-x) (=1) sans modifier le signe de l'inégalité.
2) de même, tu peux multiplier le 2^nd membre par (5x-3)/(5x-3) (=1 en fait) sans modifier le signe de l'inégalité.
3) ça donne
(425x²-297)(4-x) /((5x-3)(4-x)) > (-34x+396)(5x-3)/((5x-3)(4-x))
(excuse-moi pour la forme)
4) en développant (on doit garder le dénominateur à cause de son signe, complexe pour ton niveau) il vaut mieux garder les coefficients sous les formes suivantes
425 = 5².17
297 = 3³.11
34 = 2.17
396 = 2².3².11
ça aide à factoriser puis simplifier plus tard
5) A la fin tu obtiendras (le point pour produit)
-5x³ +2.11x² -3.7x
comme numérateur que tu identifieras avec le résultat, sachant que tu ne connaît problablement pas encore le résolution d'une équation du 2^nd degré en x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4ebd1a1]

Je bloquais sur la notion d'équivalence, j'essayais de trouver un moyen de montrer que les "inéquations étaient égales", je pouvais toujours tenter =D.

J'ai maintenant trouvé le réel 85 (comme le disais SoaD25)qui lie A et B (A=85*B), ce qui me permet de conclure sur l'équivalence.

Merci à tous pour votre aide précieuse.