normes equivalentes

[invite3ce7e460]

Bonjour tout le monde, voilà dans mon cours après avoir démontré que les normes sont équivalentes sur K^n (avec K=R ou K=C) j'ai le théorème suivant:

"Si E est un espace normé de dimension n et si (a1,a2,...,an) est une base de E, l'application linéaire T de K^n sur E définie par: T(x) = somme(i=1 à n (xi*ai) ) pour x=(x1,x2,...,xn) est un homéomorphisme de K^n sur E."

La démonstration donnée est la suivante:

"Notons \\\./// la norme sur K^n définie par \\\x/// = \\T(x)// (avec \\.// norme sur E).Puisque T est une isométrie de (K^n,\\\.///) sur E, c'est un homéomorphisme, et puisque les normes \\.// et \\\./// sur K^n sont équivalentes, elles définissent sur K^n la même topologie. Donc T est un homéomorphisme de K^n sur E."

Voilà je ne comprends pas le "donc" de la conclusion.
il y a même après un corollaire sans démonstration qui affirme que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, et je ne vois pas le rapport avec le théorème.
Merci d'avance de m'éclairer sur le sujet.
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[invitea41c27c1]

Tu as démontré que T est un homéo de (K^n,\\\.///) vers (E,\\.//).
Par théorème les normes sur K^n \\\./// et \\.// sont équivalents, celà veut exactement dire que Id : (K^n,\\.//) -> (K^n,\\\.///) est un homéorphsime (faire le lien entre le fait qu'une norme est plus fine qu'une autre et le fqit qu'une application est continue). Donc id.T est un homéo donc t est aussi un homeo

[invite3ce7e460]

en fait c'est quoi la différence entre "T est un homéomorphisme de (K^n,\\\.///) sur (E,\\.//)" et "T est un homéomorphisme de K^n sur E" ?
Merci.

[invite769a1844]

en fait c'est quoi la différence entre "T est un homéomorphisme de (K^n,\\\.///) sur (E,\\.//)" et "T est un homéomorphisme de K^n sur E" ?
Merci.

aucune, dans la seconde expression on ne précise pas la topologie de tellement qu'elle est canonique. Vu que est de dimension finie, toutes les normes vont donner la même topologie, "la plus usuelle" sur .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3ce7e460]

merci, mais je ne vois toujours pas en quoi ce théorème, avec celui qui affirme que toutes les normes sur K^n sont équivalentes, entraîne que toutes les normes sur un espace de dimension finie sont équivalentes..

[FonKy-]

c'est pas parceque tout espace de dimension n et isomorphe a K^n ? (je propose )

[invite769a1844]

merci, mais je ne vois toujours pas en quoi ce théorème, avec celui qui affirme que toutes les normes sur K^n sont équivalentes, entraîne que toutes les normes sur un espace de dimension finie sont équivalentes..

Soient un ev de dim finie , et deux normes sur .

On sait qu'il existe un isomorphisme d'ev .

On définit les normes et sur de cette façon:

:

:

et sont équivalentes sur , donc est un homéomorphisme.

et sont des isomorphimes d'ev isométriques, donc ce sont des homéomorphismes.

Par conséquent est un homéomorphisme, donc et sont équivalentes.