Dérivation sous le signe intégrale

[invitebb921944]

Bonjour !
Je dois montrer le résultat suivant :

Soit tel que pour tout x réel et
Soit également une fonction à support compact.
Pour tout n entier naturel strictement supérieur à 0, on définit gn : R -> C par
,
Je dois montrer que

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre et plus généralement, je ne vois pas bien comment manipuler les produits de convolution.
Si quelqu'un pouvait m'éclairer...


J'ai un autre problème issu d'un autre exo qui n'a rien à voir :

Comment calculer :

a>0 ???
Mon problème, c'est que si j'intègre, la convergence aux bornes dépend de n, et si j'intervertis le signe somme intégrale (en supposant que j'en ai le droit), la convergence de ma somme dépenddu signe de x...)


Au passage, si quelqu'un connait un lien avec un résumé des résultats classiques de convergence de séries, d'intégrales, interversion limite-integrale, somme-limite etc... (théorie de la mesure bienvenue !!)
Bonne soirée.
-----

[invite57a1e779]

Soit tel que pour tout x réel et
Soit également une fonction à support compact.
Pour tout n entier naturel strictement supérieur à 0, on définit gn : R -> C par
,
Je dois montrer que

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre et plus généralement, je ne vois pas bien comment manipuler les produits de convolution.

Dans ce genre de problème, on fait souvent le changement de variable, y=z-x, pour "passer" le x dans la fonction que l'on veut dériver, puis en y après dérivation.


J'ai un autre problème issu d'un autre exo qui n'a rien à voir :

Comment calculer :

a>0 ???
Mon problème, c'est que si j'intègre, la convergence aux bornes dépend de n, et si j'intervertis le signe somme intégrale (en supposant que j'en ai le droit), la convergence de ma somme dépenddu signe de x...)

L'intégrale est facilement calculable, non ?

[invitebb921944]

Dans ce genre de problème, on fait souvent le changement de variable, y=z-x, pour "passer" le x dans la fonction que l'on veut dériver, puis en y après dérivation.

Dans mon cas ce serait pas plutôt y=x-z ?
Parce que sinon y'a toujours un x dans ma fonction PSI.
On dérive, puis on pose z=x-y et ca à l'air de marcher !
Merci bien.

Pour l'intégrale en fait je vois bien comment déterminer la primitive mais je vois pas bien comment je pourrais obtenir quelque chose de réel (parce que c'est ce que je veux).
Enfin j'imagine que les parties imaginaires s'annulent...
Je vais essayer ça !

[invite57a1e779]

Dans mon cas ce serait pas plutôt y=x-z ?

Oui, c'est effectivement ça.

Pour l'intégrale en fait je vois bien comment déterminer la primitive mais je vois pas bien comment je pourrais obtenir quelque chose de réel (parce que c'est ce que je veux).

L'intégrale étant réelle, tout mode calcul doit donner un résultat final réel...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Merci tout fonctionne !