Bonjour
J'ai un exercice sur les suites où notre prof nous demande de calculer U0 et U1 de la suite Un= intégrale de 0 à Pi de cos(nt)/(x²-2x cos (t)+1) et notre prof nous demande d'utiliser une variable s=tan (t/2) et de mettre sous la forme intégrale de 0 à +infini de R(s)ds ( mais il n'a pas dit ce qu'était R(s)) en utilisant Arctan pour résoudre cela mais je ne cmprends pas très bien le truc. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer? Merci d'avance.
salut, à mon avis le prof veux que tu linéarises l'expression qui est sou ton intégrale.Envoyé par nfene
tu fais le changement de variable (expliqué dans n'importe quel cours d'intégration à disposition sur le net)
donc tu poses s=tan(t/2),
ensuite tu regardes comment tu peux écrire cos(t) et cos (nt) en fonction de s.
Ensuite tu réécris facilement toute l'expression cos(nt)/(x²-2x cos (t)+1) en fonction de s, ce qui te donnera R(s).
Pour les bornes de l'intégrales 0 et Pi, il ne faut pas oublier de les remplacer par les nouvelles bornes tan(0/2) = 0 et
J'aimerais bien voir l'allure de cos(nt) en fonction de s=tan(t/2) ...
Le "facilement" est un euphémisme...
le "facilement" c'est pour l'étape d'après qui est quand même facile après avoir réécri cot(t) et cos(nt).
Après j'avoue que ça a pas l'air évident pour le cos(nt),
je pensais qu'on pouvait utiliser la formule de De Moivre, ensuite le binôme de Newton, on sépare les parties réelles et imaginaires, et on peut trouver cos(nt) en fonction de sin(t) et cos(t), non?
En fait le changement de variable
Ensuite, il faut utiliser la formule
et calculer
ok merci je crois que j'ai compris
Petite remarque supplémentaire : par linéarité de l'intégrale, on a directement
donc le calcul de
C'est le même genre de manip qu'il faut faire pour avoir la relation de récurrence entre
en fait, j'ai encore un petit problème car je trouve dt=2ds/(1+s²) et cos (t)=(1-s²)/(1+s²) mais en remplaçant dans l'expression je trouve sous l'intégrale 2 ds/(x²+s²x²-2x+2xs²+1+s²) et même en réunissant les x² entre eux les x et les unités je ne réussis pas à trouver un truc où pourrait intervenir l'Arctan pour intégrer
et tu vas bien pourvoir retrouver ton arctangente...
En fait le changement de variable
Ensuite, il faut utiliser la formule
et calculer
oui c'est ce qu'il nous a dit mais je ne comprends pas comment il transforme l'intégrale ensuite pour aboutir à l'équation Un+2 - (x+1/x) Un+1 +Un=0
ben malheureusement je réussis pas à la retrouver je vois bien une partie de ce qui donnerait l'arctangeante mais je suis bloqué.
et tu vas bien pourvoir retrouver ton arctangente...
Nouveau changement de variable :
ok. merci.Nouveau changement de variable :
les bornes restent 0 et +infini et on a ds=(x-1) du/(x+1)?Nouveau changement de variable :
Le ds est exact, la borne 0 reste 0, la borne
Mais tu dois avoir des conditions sur x, non ?
oui x appartient à -1;1 exclusLe ds est exact, la borne 0 reste 0, la borne
Mais tu dois avoir des conditions sur x, non ?
