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exercice sur les suites



  1. #1
    GTA87

    exercice sur les suites

    Bonjour à tous !!!

    voila, j'ai un petit problème avec un exercice sur les suites. Voici l'enoncé :
    montrer qu'une suite croissante et non convergente tend vers + l'infini.
    Application : montrer que la suite (Sn) tend vers + l'infini.
    avec,
    n
    Σ (1/k) =Sn
    k=1

    mon probléme c'est que je ne sais pas par où commencer, donc est-ce que quelqu'un peut me m'aider en me donnant des indications. SVP

    merci.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : exercice sur les suites

    salut,

    ton énoncé n'est pas bien joli: comment définis-tu "tend vers l'infini" pour une suite réelle?

    si tu connais un peu la topologie, tu peux raisonner dans la "droite achevée" qui est compacte. La suite y a donc une valeur d'adhérence, dont il reste à montrer qu'elle n'est pas dans R.

  4. #3
    cyberantoine

    Re : exercice sur les suites

    Bonjour
    Je me baserais sur la proposition suivante :
    Dans R, si une suite est monotone et bornée alors elle converge.
    Ici ta suite est monotone mais ne converge pas, tu en déduis donc qu'elle n'est pas bornée.
    donc pour tout réel M>0, il existe un entier N, tq il existe n>N, |u(n)|>M.
    La monotonie de ta suite te permet de dire que à partir de ce N, toutes tes valeurs de ta suite sont encore supérieures. Donc ta suite est divergente.

    Pour l'application,
    S(n+1)-S(n)=1/(n+1)>0 donc ta suite est croissante.
    A toi de montrer que la suite, (Sn) ne converge pas. Il existe de nombreuses méthodes, je ne sais pas à quel niveau d'étude tu te situes ; c'est en fait une somme partielle d'une série de riemann qui ne converge pas.

  5. #4
    GTA87

    Re : exercice sur les suites

    merci pour ton aide . je suis en deuxieme année en fac de sciences . on a vu la serie de rieman donc je vais chercher par là ...

  6. #5
    ericcc

    Re : exercice sur les suites

    En général on regarde S2n-Sn pour prouver la non-convergence

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    acx01b

    Re : exercice sur les suites

    salut

    je crois que ma démonstration à assez mal écrite !

    soit une suite croissante et non convergente

    on suppose que la suite ne tend pas vers l'infini, donc il existe au moins un réel M tel qu'il n'existe pas de rang à partir duquel tous les éléments de la suite sont supérieurs à M
    et comme la suite est croissante, il n'existe pas de U(i) supérieur à M car sinon à partir de ce rang tous les éléments de la suite seraient supérieurs à M

    on considère maintenant l'ensemble des M qui respectent cette propriété:
    la suite est croissante donc elle est minorée par U(0), et les réels M sont forcéments supérieurs ou égaux à U(0), donc on peut prendre m les plus petit d'entre eux

    comme m est le plus petit, pour tout epsilon > 0, il existe un rang à partir duquel tous les éléments de la suite sont supérieurs à x = m - epsilon, et tous les éléments de la suite étant inférieurs ou égaux à m, la suite converge vers m

    ce qui est une contradiction donc la suite tend bien vers l'infini

    par contre pour l'application du théorème je ne vois pas bien comment tu fais pour démontrer que la série des 1/n diverge sans montrer qu'elle tend vers l'infini
    (si on utilise la comparaison avec l'intégrale de 1/x on a aussi montré que la série des 1/n tend vers l'infini !)

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  10. #7
    ericcc

    Re : exercice sur les suites

    SI on calcule S2n-Sn on va trouver 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n. C'est une somme de termes positifs, dont le plus petit est 1/2n. Il y a exactement n termes. Donc S2n-Sn est toujours supérieur à n*1/n=1/2.

    La suite ne satisfait pas le critère de Cauchy, elle n'est donc pas convergente.

  11. #8
    ericcc

    Re : exercice sur les suites

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    salut,

    ton énoncé n'est pas bien joli: comment définis-tu "tend vers l'infini" pour une suite réelle?

    si tu connais un peu la topologie, tu peux raisonner dans la "droite achevée" qui est compacte. La suite y a donc une valeur d'adhérence, dont il reste à montrer qu'elle n'est pas dans R.
    Ne peut on pas montrer que quelque soit M il existe un rang N tel que pour tout n>N |Un|>M ?

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