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Exercice sur les suites réelles



  1. #1
    henri IV

    Exercice sur les suites réelles

    Bonjour à tous j'ai bien avancé dans mon exercice sur les suites réelles mais quelques questions me génent encore, pourriez vous m'aider:
    Voici l'énnoncé:
    On considére la suite de nombres réelles définie par :


    qui est strictement positive, monotone et qui diverge vers l'infini.
    Puis on définit la suite par:


    qui est majorée, et qui converge ver une limite notée
    De plus on a prouvé que :



    et que :

    Il me faut maintenant montrer que , ce qui est assez aisé, mais je suis bloqué à la question suivante:
    Puis en passant à la limite pour n fixé dans , montrer que
    Et enfin en déduire que, lorsque n tend vers l'infini est équivalent à (désolé je ne sais pas faire le symbole équivalent en "Latex" ...)

    Encore merci de votre aide.
    A trés bientôt.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    homotopie

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    Pour la majoration de en utilisant l'inéquation :

    En y faisant apparaître en utilisant une autre écriture de et en réécrivant , on aboutit sans trop de difficultés à un résultat proche (à partir d'un certain N au lieu de pour tout n). L'énoncé dit bien "pour tout n" pour cette inégalité?

    Pour déduire l'équivalence, une voie est d'utiliser le théorème d'encadrement sur . Utiliser l'inégalité de gauche pour montrer que la différence des deux suites extrèmes converge vers 0.

  4. #3
    homotopie

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    Autant pour moi sur la deuxième partie (l'équivalence).
    Peut être un truc à creuser de ce côté :
    on pose .
    On a

  5. #4
    henri IV

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    Je tente de mettre en place votre raisonnement pour la premiére partie, mais ça ne me donne pas grand chose : je trouve:

    Mais là je ne vois pas trop comment m'en sortir, en particulier que faire de
    Encore MERCI de votre aide.

  6. #5
    matthias

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    Citation Envoyé par henri IV
    De ceci on déduit en passant à la limite que :



    On remplace par son expression en fonction de et c'est fini.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    Je crois que homotopie n'avait pas fait attention au fait qu'ici :
    Citation Envoyé par henri IV
    montrer que
    le +1 n'est pas en indice.

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  10. #7
    henri IV

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    Citation Envoyé par matthias
    A t-on bien le droit de ne passer à la limite que pour le terme :, vous faites tendre quoi vers l'infini, n ou k? Si c'est k ça expliquerai que seul soit remplacé par sa limite.
    C'est bien cela?

  11. #8
    matthias

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    C'est évidemment k que l'on fait tendre vers l'infini, sinon ça n'a aucun sens.
    Et le passage à la limite ne pose aucun problème:

    Ce qui signifie qu'à n fixé, on a à gauche une suite qui converge vers et à droite un terme constant qui majore la suite. Le terme constant est donc supérieur ou égal à la limite.

  12. #9
    henri IV

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    MERCI beaucoup de votre aide,
    A trés bientôt sur ce forum.

  13. #10
    babaz

    Re : Probléme avec un exercice sur les suites réelles

    Cet exercice est relatif à quelle classe ?

    Merci

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