Exercice sur les suites réelles

[invite23d4d995]

Bonjour à tous j'ai bien avancé dans mon exercice sur les suites réelles mais quelques questions me génent encore, pourriez vous m'aider:
Voici l'énnoncé:
On considére la suite de nombres réelles définie par :


qui est strictement positive, monotone et qui diverge vers l'infini.
Puis on définit la suite par:


qui est majorée, et qui converge ver une limite notée
De plus on a prouvé que :



et que :

Il me faut maintenant montrer que , ce qui est assez aisé, mais je suis bloqué à la question suivante:
Puis en passant à la limite pour n fixé dans , montrer que
Et enfin en déduire que, lorsque n tend vers l'infini est équivalent à (désolé je ne sais pas faire le symbole équivalent en "Latex" ...)

Encore merci de votre aide.
A trés bientôt.
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[invite35452583]

Pour la majoration de en utilisant l'inéquation :

En y faisant apparaître en utilisant une autre écriture de et en réécrivant , on aboutit sans trop de difficultés à un résultat proche (à partir d'un certain N au lieu de pour tout n). L'énoncé dit bien "pour tout n" pour cette inégalité?

Pour déduire l'équivalence, une voie est d'utiliser le théorème d'encadrement sur . Utiliser l'inégalité de gauche pour montrer que la différence des deux suites extrèmes converge vers 0.

[invite35452583]

Autant pour moi sur la deuxième partie (l'équivalence).
Peut être un truc à creuser de ce côté :
on pose .
On a

[invite23d4d995]

Je tente de mettre en place votre raisonnement pour la premiére partie, mais ça ne me donne pas grand chose : je trouve:

Mais là je ne vois pas trop comment m'en sortir, en particulier que faire de
Encore MERCI de votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

De ceci on déduit en passant à la limite que :



On remplace par son expression en fonction de et c'est fini.

[invitec314d025]

Je crois que homotopie n'avait pas fait attention au fait qu'ici :

montrer que

le +1 n'est pas en indice.

[invite23d4d995]

A t-on bien le droit de ne passer à la limite que pour le terme :, vous faites tendre quoi vers l'infini, n ou k? Si c'est k ça expliquerai que seul soit remplacé par sa limite.
C'est bien cela?

[invitec314d025]

C'est évidemment k que l'on fait tendre vers l'infini, sinon ça n'a aucun sens.
Et le passage à la limite ne pose aucun problème:

Ce qui signifie qu'à n fixé, on a à gauche une suite qui converge vers et à droite un terme constant qui majore la suite. Le terme constant est donc supérieur ou égal à la limite.

[invite23d4d995]

MERCI beaucoup de votre aide,
A trés bientôt sur ce forum.

[invite4f80dcbf]

Cet exercice est relatif à quelle classe ?

Merci