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exercice sur les suites



  1. #1
    sensor

    exercice sur les suites


    ------

    Bonsoir.
    J'ai des problèmes sur un exo sur les suites (je n'ai réussi que les 3 premières questions) dont voici l'énoncé :
    On considère la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=2xexp(x).

    1)Montrer que f réalise une bijection de [0;1] sur un ensemble que l'on déterminera.On note f-1 la bijection réciproque de f. Donner les tableaux des variations de f et de f-1 la bijection réciproque de f. Donner les tableaux des variations de f et de f-1.

    2)Vérifier qu'il existe dans [0,1] un et un seul réel noté alpha tel que alphaexp(alpha)=1.
    Montrer que alpha différent de 0.

    On définit la suite (un)n€N par :
    u0= alpha
    Pour tout n€N, un+1=f-1(un)

    3) Montrer que pour tout entier naturel n, un existe et un € ]0,1].

    4) (a) Montrer que pour tout réel x de [0,1], f(x)-x>=0.
    Vérifier que l'égalité ne se produit que pour x=0.
    (b) En déduire que la suite (un) est strictement décroissante.
    (c) Montrer que la suite un) est convergente et qu'elle a pour limite 0.

    Merci de bien vouloir m'aider.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    indian58

    Re : exercice sur les suites

    Qu'est-ce que tu as fait?

  4. #3
    sensor

    Re : exercice sur les suites

    J'ai réussi à montrer les 3 premières questions.

  5. #4
    indian58

    Re : exercice sur les suites

    4)(a) Tu poses g(x)=f(x)-x pour tout x et tu étudies cette fonction...
    (b) un+1 < un <=> un < f(un) <=> g(un)> 0. A toi de justifier...
    (c) la suite est positive et décroissante et donc converge vers une limite qui vérifie f(x)=x. Pourquoi? A toi de trouver...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    sensor

    Re : exercice sur les suites

    Je vais essayer de me débrouiller avec ça.
    Merci pour les pistes.

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