Bonjour,
Une toute petite question qui peut paraitre trop facile
C'est quoi la déf d'un intervalle mathématiquement ?
Juste pour montrer que les convexes dans R sont les intervalles
Implication 1 : intervalles => convexes ( trop facile )
Implication 2 : Convexes => Intervalles ( Besoin de la Def )
Merci d'avance
Bonsoir,
Sur les réels, on peut définir l'intervalle fermé [a, b] comme ceci:
Je vous laisse trouver pour les intervalles ouverts et semi-ouverts.
Ce n'est pas evident de demontrer ce theo avec cette def 🙈🙈 Merci comme meme
Je l'ai déjà demontrer par I inclus dans une intervalle et l'intervalle inclus dans I (tq I est convexe)
Tu as ton convexe I, I admet une borne inf a et une borne sup b
Il existe donc une suite décroissante x_n d'éléments de I qui tend vers a et une suite croissante y_n qui tend vers b. De plus, on peut les choisir telles que x_0 < y_0.
Par convexité de I, [x_n,y_n] est inclus dans I pour tout n. Leur union est donc incluse dans I. Or ]a,b[ est inclus dans cette union, donc dans I. Il est de plus immédiat que I est inclus dans [a,b], donc I est forcément un intervalle (c'est ]a,b[ auquel on rajoute (ou pas) deux points)
Il est quand même préférable de distinguer les cas où a et b sont finis ou infinis si on veut rester à un niveau élémentaire.
La borne supérieure de I est +∞, où I n'admet pas de borne supérieure dans IR étant deux façons de dire la même chose.
Pour les pinailleurs: quid de l'ensemble vide ?
Ouidoit appartenir à l’ouvert.
Bonjour Schrodies-cat.
Ton message #7 n'étant pas très explicite, je vois deux réponses :
* Est-ce un intervalle ? Oui, par exemple [3;1].
* Quelle est sa borne supérieure ? dans ce cas, tout réel x est un majorant, puisque la propriété
est vraie, sa négation étant évidemment fausse :
Donc, dans
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 08/10/2016 à 14h20.
Et donc l'ensemble vide est égal à ]+∞,-∞[ !
Çà colle !
On notera que considérer l'ensemble vide comme un convexe ou un intervalle permet d'avoir la propriété suivante: une intersection de convexes, ou d'intervalles est un convexe, ou un intervalle, mais on perd l'unicité de l'écriture des intervalles.
