Petite question pour jouer

[Médiat]

Bonjour,

J'ai hésité à mettre ce post en "Science ludique", mais la résolution demande un peu de mathématiques ...

Soit un sous ensemble de , tel que , et un sous ensemble de , tel que .

Montrez qu'il existe deux ensembles et tels que , et , et pour tout dans , il existe au plus un et au plus un tel que .
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[invite51d17075]

pas sur de bien saisir, cela veut dire qu'il peut ne pas en exister ? ou qu'il existe au moins un couple ?

[Médiat]

Qu'il peut ne pas en exister, mais il y en a au plus 1

Par exemple si X' = {1, 2, 3} et Y' = {3, 6}, si z = 8, x et y n'existe pas ; si z = 6, il existe deux solutions (x = 1 et y = 6) ou (x = 2 et y = 3}, donc X' et Y' ne conviennent pas.
Par contre X' = {1, 2, 3} et Y' = {5, 6}, vérifient bien la condition

[Médiat]

Je précise que dans l'expression , peut être un ensemble infini, et donc le calcul de peut nécessiter un calcul de limite

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

je suis perdu.
les x et y sont défini comme des sigma(1/n) et X' et Y' comme des sous ensembles de N*.....

[invite51d17075]

Je précise que dans l'expression , peut être un ensemble infini, et donc le calcul de peut nécessiter un calcul de limite

ça, j'avais saisi , et aussi l'importance du 1 dans cette histoire peut être.
d'où l'idée intuitive que le premier ensemble pourrait être l'ensemble des puissances de 2. !??
sauf 1. ?

[Médiat]

Il est vrai que mon choix de variables n'est pas judicieux, j'aurais dû écrire :

pour tout dans , il existe au plus un et au plus un tel que .

[Deedee81]

Salut,

Il est vrai que mon choix de variables n'est pas judicieux, j'aurais dû écrire :
pour tout dans , il existe au plus un et au plus un tel que .

Ah oui, merci. J'avoue que je n'avais pas pigé.

Ca reste quand même un peu difficile pour moi Mais je vais suivre ça avec attention

[Médiat]

l'idée intuitive que le premier ensemble pourrait être l'ensemble des puissances de 2.

Dont la limite de la somme des inverses est égal à 2, mais cela doit marcher quelque soit la limite (qui doit exister)

[invite51d17075]

oui, ma remarque sur le 1 est en trop .

[Deedee81]

Petite illumination. Je crois qu'un bon indice serait : "fractions continues", non ? (avec une petite goute d'algorithme d'Euclide et une larme de développement de Engel)
Médiat, ai-je bien vu ?

[Resartus]

Bonjour,

Si X et Y étaient des parties finies, on pourrait prendre dans X' les plus petits i' qui donnent le bon résultat,
et ensuite remplacer dans y' tous les j' qui seraient en double par une somme utilisant des nombres beaucoup plus grands que le max des i' de X (toujours possible).

Par contre, si x est réel, X' va être infini et il faut être plus subtil dans le choix des i' et des j'
Une première idée serait par exemple de choisir des nombres pairs pour les i' et impairs pour les j',
Mais cela ne suffit pas pour empêcher qu'un nombre k puisse être obtenu plusieurs fois. Pour éviter entièrement cela, il faudrait que la liste des premiers utilisés dans la série des i' utilisée pour x soit entièrement disjointe de celle des j' utilisée pour y.

Est-ce possible? Suis-je sur la bonne piste en essayant de démontrer cela?

[Resartus]

Rebonjour,

Je pense avoir compris pourquoi on peut trouver deux ensembles de nombres premiers qui répondent à la question. Problème très intéressant, qui m'a rappelé certains calculs d'Euler puis de Riemann...

Mais j'en ai déjà un peu trop dit, et je suppose que tu veux, comme dirait Marius "laisser un peu mesurer les autres"....

[Médiat]

Petite illumination. Je crois qu'un bon indice serait : "fractions continues", non ? (avec une petite goute d'algorithme d'Euclide et une larme de développement de Engel)
Médiat, ai-je bien vu ?

Le lien le plus fort est avec le développement en série de Engel

[Médiat]

Bonsoir,

Est-ce possible? Suis-je sur la bonne piste en essayant de démontrer cela?

Oui, absolument

[Médiat]

Bonjour,

J'explique un peu le contexte : dans la rédaction du document Ensembles_de_nombres disponibles sur ce forum, j'ai trouvé une méthode de construction des réels à partir des entiers (sans passer par les rationnels), mais sans aucun détail, aussi ne l'ai-je pas incluse dans le document, or, il y a quelques jours je suis tombé sur un article donnant un peu plus de billes, mais sans démonstration, aussi les ai-je faites . Du coup cette méthode sera bientôt intégrée au document (le temps d'écrire proprement).

 Cliquez pour afficher

Sans rentrer dans les détails, si une suite réelle d'éléments strictement positifs et strictement décroissante, tendant vers 0 est telle que la série associée est divergente (donc tend vers l'infini), alors :
1) pour tout x dans IR on peut extraire une sous suite telle que la série associée tende vers x
2) la sous-suite "complémentaire" de la précédente vérifie les conditions initiales
3) la suite des inverses des nombres premiers vérifie ces conditions

Et donc la solution proposée par Resartus convient.

[invite51d17075]

Bonjour,
(...)
Et donc la solution proposée par Resartus convient.

c'est ce qu'il ma semblé, c'est la raison pour laquelle je ne suis pas revenu.
en attendant de lire ton document plus global.
cordialement.

[Médiat]

Je préviendrai dans ce fil quand l'ajout sera effectué.

[invite82078308]

Bizarre ...Les ensembles X et Y de l'hypothèse n'apparaissent pas dans la conclusion .
S'agissait-il de rappeler qu'il existe de tels ensembles ?

[invite82078308]

(...)
Montrez qu'il existe deux ensembles et tels que , et , et pour tout dans , il existe au plus un et au plus un tel que .

Cet énoncé me parait bancal d'un point de vue formel "il existe au plus un x etc." apparait après que "x" ait déjà été utilisé.

[invite82078308]

Nonobstant cette maladresse, j'ordonne l'ensemble des nombres premiers, dont la série des inverses est divergente, je considère les les nombres premier de rang pair et les nombres premiers de rang impairs, et prends pour X' et Y' des parties adéquates de ces deux ensembles. X' et Y' étant construits par une petite récurrence.

[Médiat]

Cet énoncé me parait bancal d'un point de vue formel "il existe au plus un x etc." apparait après que "x" ait déjà été utilisé.

comme je l'ai écrit, le choix de variables n'est pas judicieux, mais la quantification rend la variable utilisée ensuite muette, formellement, c'est correct (mais pas conseillé).

Il n'est pas utile de contraindre le premier ensemble de nombres premier, et il suffit de restreindre l'autre ensemble au complémentaire du premier (par rapport aux premiers bien sûr)

[Médiat]

Bonjour,

Voici l'extrait dont je parlais plus haut : s.pdf

Je suis très mécontent de moi, tout est mauvais, le choix des notations, l'ordre des paragraphes, les différents niveaux d'explication etc. (c'est la 5ième version), il est vrai que je n'ai pas une grande sympathie pour cette méthode ; si vous avez des suggestions pour améliorer ce document, je suis preneur...

[invite82078308]

Très cher médiat.
Je noterai que le fait, que j'utilise dans ma démonstration, que la série des inverses des nombres premier est divergente n'est pas absolument élémentaire, mais je n'ai pas de démonstration se pssant de ce résultat.
Quand je parle d'une "petite récurrence", je suis un peu ironique comme il m'arrive souvent, c'est au delà de ce que sait faire un élève de terminale S par exemple ...
Elle est explicitée dans votre PDF.
A ce sujet, il me semble que la condition a_n > a_n+1 n'a rien d'indispensable.
On a ψ(n) >= n et donc les conditions a_n>0 et Lim_n->∞ ce qui devrait suffire.
On noera que votre démonstration fonctionne aussi si on impose à la somme d'être infinie.
Si on considère les sommes finies, on peut généraliser au cas où la somme est nulle avec une somme vide.

[Médiat]

Bonjour,

Je noterai que le fait, que j'utilise dans ma démonstration, que la série des inverses des nombres premier est divergente n'est pas absolument élémentaire, mais je n'ai pas de démonstration se pssant de ce résultat.

Oui et non (moi non plus, en fait j'ai eu l'idée de poster cette question "pour jouer", parce qu'en lisant un article se contentant de dire que "les ensembles qui vont bien" existent, j'ai cherché une démonstration et l'idée développée dans le pdf m'est apparue comme un "Ahah" de Martin Gardner (avec cette idée, la démonstration est triviale).

A ce sujet, il me semble que la condition a_n > a_n+1 n'a rien d'indispensable.

Effectivement elle n'est pas indispensable ⁽¹⁾, mais elle simplifie de beaucoup certaines démonstrations (pas dans le fond, mais au moins dans ce qu'il faut écrire), et cela améliore la convergence des séries (bon très anecdotiquement, d'accord)


⁽¹⁾Dans la littérature sur ce type de sujet, cette condition n'est pas requise, c'est moi qui l'ai ajoutée.

[invite82078308]

Très cher médiat. (cette limite des 5 min pour éditer ne me convient pas, voilà mon post remis d’aplomb):
Je noterai que le fait, que j'utilise dans ma démonstration, que la série des inverses des nombres premier est divergente n'est pas absolument élémentaire, mais je n'ai pas de démonstration se passant de ce résultat.
Quand je parle d'une "petite récurrence", je suis un peu ironique comme il m'arrive souvent, c'est au delà de ce que sait faire un élève de terminale S par exemple ...
Elle est explicitée dans votre PDF.
A ce sujet, il me semble que la condition a_n > a_n+1 n'a rien d'indispensable.
On a ψ(n) >= n et donc les conditions a_n>0 et Lim_n->∞ a_n=0 ce devraient suffire.
On notera que votre démonstration fonctionne aussi si on impose à la somme d'être infinie.
Si on considère les sommes finies, on peut généraliser au cas où la somme est nulle avec une somme vide.[/QUOTE]

[Resartus]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'avoir compris s'il y a besoin d'une démonstration simple du fait que la somme des inverses des nombres premiers est infinie?

La méthode historique (de Euler je crois?) me semble suffisamment élémentaire. C'est aussi celle que Riemann a utilisé pour transformer sa fonction zeta....

elle consiste à remarquer que ln (1/(1-1/p))) est équivalent à 1/p

On a donc sigma (1/p) equivaut à sigma [log(1/(1-1/p))]=ln(pi(1/(1-1/p)))= ln[pi ((1+1/p+1/p²+..)]
Et le développement du produit infini donne la somme de tous les inverses des nombres entiers (la série harmonique) qui diverge....