Petite question toute bête par rapport à une question sur la continuité pour la norme 1

[invitef2e275d2]

Bonjour tout le monde,
il y a un petit truc dans la correction d'un de mes exos de td que je ne comprend pas très bien.
Nous avons un espace vectoriel E=C([0,1]) nous avons fn(x)= x^n Et nous avons L'application : T definit de E dans R par T(f)=f(1)
On nous demande si elle est continue dans l'epace E muni de la norme 1 et infini. autrement dit existe t-il un M telle que pour tout x la valeur absolu de T(x) est inférieur ou égale à M multiplié par la norme 1. dans la correction du prof:
il met valeur absolu de T(f)= valeur absolu de f(1)=1 <= M/(n+1) Impossible pour tout n! moi ce que je ne comprend pas c que pour M>=n+1 ceci est vrai donc si par ex on pose M=n+2 c'est vrai! donc pourquoi ça serait impossible ?? merci beaucoup
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[invite93e0873f]

Si c'était vrai, on pourrait utiliser un seul M, quel que soit n. Or, par la propriété archimédienne, qu'importe le M (fixe) choisi, il existe un n tel que M < n+1, donc tel que M/(n+1) < 1.

Pour tout n, on peut trouver M tel que M/(n+1) > 1 ; mais on ne peut pas trouver M tel que pour tout n, M/(n+1) > 1.

[invite47617937]

M est une constante FIXE , n est un nombre variable et M/n tend vers 0 si n tend vers l'infini comme il est bien connu .......