Construction de l'édifice mathématique

[invite102b12a0]

Bonjour,

J'aimerais savoir comment est construit l'édifice mathématique, plus précisément j'aimerais avoir une sorte de "plan" qui indique dans quel ordre sont construits les objets. Je me doute bien qu'il y a plusieurs manières de faire, par exemple créer la fonction exponentielle à partir de la fonction logarithme et inversement créer la fonction logarithme à partir de la fonction exponentielle, mais il doit bien y avoir une manière de faire plus populaire.
Non seulement je trouve ça super intéressant mais aussi je pense que ça pourrait beaucoup m'apporter en m'aidant à avoir une vision clair des mathématiques.
Mais le problème est que je ne trouve rien sur internet, et que je suis limité par mes connaissances (je suis qu'en mpsi).

Si quelqu'un pourrait m'aider à trouver un "plan" à ma portée ce serait vraiment sympas

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Tout dépend sur quoi tu construis ...
Tu peux regarder une construction systématique, qui n'a jamais été terminée, la série des ouvrages Bourbaki.
On construit maintenant plus généralement à partir de la théorie des ensembles, ou de celle des catégories, en utilisant les outils modernes de la logique.
Je partirai des ensembles, je connais mieux : Ensembles, structures (algébriques, d'ordre, topologiques, etc), nombres, géométries (affine, euclidienne, projective, ...), calculus (différentielles, mesures et intégration, ...), etc.

mais je n'ai repris que les grandes lignes, il y a tellement de sous-chapitres ... et on publie des milliers de théorèmes chaque année !

De plus, comme pour exp et ln, on peut construire de différentes façons ...

Cordialement.

[invite046e427d]

Bonjour gg0

Bonjour.

Tout dépend sur quoi tu construis ...
Tu peux regarder une construction systématique, qui n'a jamais été terminée, la série des ouvrages Bourbaki.
On construit maintenant plus généralement à partir de la théorie des ensembles, ou de celle des catégories, en utilisant les outils modernes de la logique.
Je partirai des ensembles, je connais mieux : Ensembles, structures (algébriques, d'ordre, topologiques, etc), nombres, géométries (affine, euclidienne, projective, ...), calculus (différentielles, mesures et intégration, ...), etc.

mais je n'ai repris que les grandes lignes, il y a tellement de sous-chapitres ... et on publie des milliers de théorèmes chaque année !

De plus, comme pour exp et ln, on peut construire de différentes façons ...

Cordialement.

Est-ce que le chapitre des Ensembles qui n'ont pas une structure d'ordre existe en mathématique.
Merci

[Seirios]

Savoir si un chapitre existe en mathématiques, qu'est-ce tu entends par là ? C'est plutôt curieux comme question.

Sinon, si l'on croit à l'axiome du choix, on peut même munir n'importe quel ensemble d'une structure de bon ordre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Sinon, si l'on croit à l'axiome du choix.

Seriously ?

[gg0]

"Est-ce que le chapitre des Ensembles qui n'ont pas une structure d'ordre existe en mathématique"
?? Pas très compréhensible. En tout cas, on définit des ensembles, et on peut ensuite y mettre des ordres ou non. J'ai pourtant été très clair dans le message #2, qui, pour autant que je comprenne cette question, y répond par avance !!

[Seirios]

Seriously ?

J'avoue, l'expression n'est peut-être pas très bien choisie Pour ma part, cela ne me gêne pas de supposer l'axiome du choix, mais je connais quelques maniaques qui cherchent systématiquement si ce qu'ils écrivent dépend ou non de l'axiome du choix...

[Médiat]

J'avoue, l'expression n'est peut-être pas très bien choisie Pour ma part, cela ne me gêne pas de supposer l'axiome du choix, mais je connais quelques maniaques qui cherchent systématiquement si ce qu'ils écrivent dépend ou non de l'axiome du choix...

Mais j'en fais partie, c'est très important de savoir si un théorème peut se démontrer avec ou sans tel ou tel axiome, ce qui m'a fait sursauter (jusqu'au plafond) c'est l'expression "si l'on croit ", même un platonicien fanatique ne trouverait sans doute rien à redire à l'expression "avec l'axiome du choix, on peut démontrer ..."

[invite51d17075]

ben, je sais que les mathématiciens (génétiquement modifiés) n'ont pas de poils dans la main, mais ZFC ,....c'est ( comment dirais je ) plus "confortable" que ZF seul:
- hypothèse du continu, grands cardinaux, ....
je dois en oublier

[invite51d17075]

j'ai oublié un smiley !

[invite9dc7b526]

Même sans axiome du choix, on doit pouvoir équiper tout ensemble d'une relation d'ordre. Il me semble que la relation d'égalité est une relation d'ordre.

[Médiat]

ben, je sais que les mathématiciens (génétiquement modifiés) n'ont pas de poils dans la main, mais ZFC ,....c'est ( comment dirais je ) plus "confortable" que ZF seul:
- hypothèse du continu, grands cardinaux, ....
je dois en oublier

Bonjour

Je ne comprends pas le sens des deux points

[invite51d17075]

ben il me semblait que l'hypothèse du continu supposait l'axiome du choix par exemple.
impossible avec ZF seul.

[Médiat]

Ok, dans votre formulation, j'avais compris que AC entrainait HC (ce qui est faux, bien sûr)

[Seirios]

Mais j'en fais partie, c'est très important de savoir si un théorème peut se démontrer avec ou sans tel ou tel axiome, ce qui m'a fait sursauter (jusqu'au plafond) c'est l'expression "si l'on croit ", même un platonicien fanatique ne trouverait sans doute rien à redire à l'expression "avec l'axiome du choix, on peut démontrer ..."

C'est bien ce que j'avais compris. J'ai un peu forcé le trait, sans doute parce que je ne comprends pas vraiment cet engouement pour l'axiome du choix.

[Médiat]

Il est très efficace, ne serait-ce que pour pouvoir définir une notion de cardinal intéressante

[Seirios]

Oui, justement, ce que j'ai du mal à comprendre, c'est l'intérêt de travailler sans.

[invite102b12a0]

Bonjour,

J'ai une question à propos de l'axiome d’extensionalité, je ne comprends pas pourquoi l'implication à la fin n'est pas une équivalence.


J'aimerais montrer la proposition " Quelque soit l'ensemble on a "

En partant de cet axiome j'arrive à et je ne peux pas conclure à cause de l'implication.

Enfaite le plus gros problème est que je ne sais pas comment traduire le "on a" je ne sais pas si il faut le traduire par une équivalence ou une implication.

[Médiat]

Oui, justement, ce que j'ai du mal à comprendre, c'est l'intérêt de travailler sans.

Principe d'économie

[invite51d17075]

J'aimerais montrer la proposition " Quelque soit l'ensemble on a "
.

je ne sais pas si c'est "valable" pour l'ensemble vide. ( même intuitivement vrai , ça dépasse mes connaissances sur la notion d'ensemble vide )
pour tout ensemble non vide, c'est trivial, non ?

[invite102b12a0]

Sinon je pense qu'on peut faire comme ça:

ce qui est toujours vrai

Et si on a bien car

Mais ça me semble bizarre de dire que le vide est inclu dans le vide ça serait un peu comme dire que le vide a une partie

[gg0]

L'ensemble vide a bien une partie; un seule.

Attention, les mots mathématiques ont un sens précis.

[Médiat]

Mais ça me semble bizarre de dire que le vide est inclu dans le vide ça serait un peu comme dire que le vide a une partie

Oui, mais une partie qui n'est pas une partie stricte

[invite102b12a0]

Oui, mais une partie qui n'est pas une partie stricte

Ce qui veut dire qu'on a pas ?

Sinon quelqu'un peut m'expliquer pourquoi il y a une implication et non pas une équivalence à la fin de l'axiome d’extensionalité ?


Merci pour vos réponses !

[Médiat]

1) parce que l'on a

2) Parce que dans l'autre sens, c'est une conséquence de la définition de l'égalité

[invite51d17075]

Ce qui veut dire qu'on a pas ?

ce n'est pas cela qui me pose question, c'est la question de savoir si la notion d'inclusion fait sens ( mathématiquement )

[Médiat]

Bien sûr, la définition de l'inclusion marche très bien

[invite51d17075]

je me suis mal exprimé, et vous le savez

[invite51d17075]

pour moi, l'axiome d'extentionalité fait qu'on ne peut parler d'inclusion à l'intérieur de l'ensemble vide.

[invite102b12a0]

1) parce que l'on a

2) Parce que dans l'autre sens, c'est une conséquence de la définition de l'égalité

1)Autant pour moi j'avais lu:

Oui, mais une partie qui EST une partie stricte

2) Donc à chaque fois qu'on défini un "objet" on a juste une implication de la définition vers l'objet ?