Bonjour!
Je suis bloqué sur un exo je dois donner un exemple d'une suite de fonctions fn dans le R espace vectoriel C([0,1]) qui converge pour la norme 1 mais qui ne converge pas pour la norme 2.
Donc pour la norme 1 on a une integralle de 0 a 1 du module de la fonction et pour la norme 2 racine integralle de la fonction au carré c'est ca non?Et je ne trouve pas ...
Merci beaucoup!
Bonjour.
En pensant à des fonctions intégrables sur [0;1], mais pas de carré intégrable, on peut avoir une idée. Par exemple avec :
On définit fn en reprenant f sur [1/n;1], et en raccordant linéairement à 0 en 0.
Je te laisse vérifier ça.
Cordialement.
Donc si j'ai bien compris pour la suite de functions fn definie 0 sur [0,1/n] etsur sur [1/n,1].
Donc pour les norms fn(x) est positive donc
et pour la norme 2 on a
et on doit tendre n vers infini je ne vois pas et je n'ai pas ecrit l'autre partie car integrale de 0 c'est 0 sur [0,1/n].Merci!
Ah non, la question n'est pas la convergence de l'intégrale, relis ton énoncé.
Je suis desolé je ne comprends pas comment il faut raissonner donc d'une suite de fonctions fn dans le R espace vectoriel C([0,1]) qui converge pour la norme 1 mais qui ne converge pas pour la norme 2 et il ne faut pas calculer la function pour la norme 1 et 2 comme j'ai fait?
Une façon de faire est d'examiner quelle peut être la fonction limite (voir le lien entre les modes de convergence et la convergence simple), puis de mettre en œuvre la définition.
Cet exercice est un exercice d'application d'un cours sur la convergence des suites de fonctions, il faut peut-être relire ce cours.
Indications : pour montrer que fn converge vers f suivant la norme || on étudie ||fn-f||. Ici, le f candidat ne permet pas de le faire pour la norme 2.
Cordialement.
J'ai lu le cours et j'ai vu des exemples.Donc la suite de functions fn est
0 sur [0,1/n] et
1/(x^1/2) sur [1/n,1]
et la candidate f pour la convergence simple est 0?Pour definir une suite de fonctions tout ce que j'ai lu il y a la suite fn(x) et dans la formule il y a n et x.Merci si vous pouvez m'eclairer
Non, la candidate pour la convergence simple est une fonction, et pas la fonction nulle.
Regarde vers quoi converge, pour x=0,1, la suite des fn(x) ( donc la suite (fn(0,1))n). Puis généralise à un x quelconque de ]0,1], puis le cas x=0.
Cordialement.
Mais das la formule que vous avez dit fn(x) est egal a 1/(x)^1/2 sur [1/n,1] et il n'y a pas de n dans la formule c'est que la racine de x c'est ca que je ne comprends pas.
Si je fais fn(0)=0 car fn(x)=0 sur [0,1/n] et fn(1)=1 et pour un x quelconque il y a deux intervalles [0,1/n) et [1/n,1] et 1/racien de qqchose petit tend vers infini.Merci beaucoup si vous pouvez m'aider!
Je ne comprends rien à ce que tu racontes. On dirait que tu ne sais pas ce qe c'est qu'une fonction ?
Il y a bien un n dans la définition de fn :
