Relation d'équivalence et classes d'équivalence

[gurendan]

Bonsoir

je bloque sur un exercice de L1 où il faut démontrer que R est une relation d'équivalence, et déterminer les classes d'équivalence.

Voici l’énoncé :

Soit E un ensemble et soit A une partie de E. On définit dans P(E) la
relation R en posant, pour tout couple (X, Y ) de parties de [P(E)]² :

XRY ⇐⇒ A ∩ X = A ∩ Y.

1. Montrer que R est une relation d’équivalence dans.

2.Déterminer les classes d'équivalence suivantes : cl(A), cl(Ø), cl(E)

......


je sais qu'il faut démontrer la réflexivité, symétrie et transitivité pour la 1ere question, mais je ne sais pas comment procéder avec la relation donnée.

Voilà, toute aide est la bienvenue, et merci!
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[slivoc]

Bonsoir,

Pour montrer la réfléxivité, tu dois montrer que pour tout x dans P(E), tu as bien xRx. Or tu sais que x est en relation avec y si, et seulement si, x n A = y n A, tu dois donc juste remplacer y par x et regarder si c' est vrai pour tout x dans P(E).
En fait, les 3 propriétés se déduisent du fait que la relation d' égalité est elle même une relation d' équivalence.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour la réflexivité :

La conslusion est alors évidente.

A toi de jouer pour la suite


Cordialement

[gurendan]

Merci à vous deux, j'ai un début de réponse!

voici ce que découle de votre aide:

réflexif : A ∩ X = A ∩ X --> XRX

symétrique : A ∩ X = A ∩ Y <=> A ∩ Y = A ∩ X --> XRY => YRX

transitif : A ∩ X = A ∩ Y et A ∩ Y = A ∩ Z => A ∩ X = A ∩ Z --> XRY et YRZ =>XRZ


je ne sais pas si c'est exactement ça, mais l'idée y est, où je suis à l'ouest ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

On peut toujours chipoter sur la rédaction, mais sinon c'est OK.

Cdt

[gurendan]

merci beaucoup, je passe à la prochaine question!