Relation d'équivalence et classes d'équivalence
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Relation d'équivalence et classes d'équivalence



  1. #1
    invite82c0c4f3

    Relation d'équivalence et classes d'équivalence


    ------

    Bonsoir

    je bloque sur un exercice de L1 où il faut démontrer que R est une relation d'équivalence, et déterminer les classes d'équivalence.

    Voici l’énoncé :

    Soit E un ensemble et soit A une partie de E. On définit dans P(E) la
    relation R en posant, pour tout couple (X, Y ) de parties de [P(E)]² :

    XRY ⇐⇒ A ∩ X = A ∩ Y.

    1. Montrer que R est une relation d’équivalence dans.

    2.Déterminer les classes d'équivalence suivantes : cl(A), cl(Ø), cl(E)

    ......


    je sais qu'il faut démontrer la réflexivité, symétrie et transitivité pour la 1ere question, mais je ne sais pas comment procéder avec la relation donnée.

    Voilà, toute aide est la bienvenue, et merci!

    -----

  2. #2
    slivoc

    Re : Relation d'équivalence et classes d'équivalence

    Bonsoir,

    Pour montrer la réfléxivité, tu dois montrer que pour tout x dans P(E), tu as bien xRx. Or tu sais que x est en relation avec y si, et seulement si, x n A = y n A, tu dois donc juste remplacer y par x et regarder si c' est vrai pour tout x dans P(E).
    En fait, les 3 propriétés se déduisent du fait que la relation d' égalité est elle même une relation d' équivalence.

  3. #3
    PlaneteF

    Re : Relation d'équivalence et classes d'équivalence

    Bonsoir,

    Pour la réflexivité :

    La conslusion est alors évidente.

    A toi de jouer pour la suite


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 13/11/2016 à 16h22.

  4. #4
    invite82c0c4f3

    Re : Relation d'équivalence et classes d'équivalence

    Merci à vous deux, j'ai un début de réponse!

    voici ce que découle de votre aide:

    réflexif : A ∩ X = A ∩ X --> XRX

    symétrique : A ∩ X = A ∩ Y <=> A ∩ Y = A ∩ X --> XRY => YRX

    transitif : A ∩ X = A ∩ Y et A ∩ Y = A ∩ Z => A ∩ X = A ∩ Z --> XRY et YRZ =>XRZ


    je ne sais pas si c'est exactement ça, mais l'idée y est, où je suis à l'ouest ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    PlaneteF

    Re : Relation d'équivalence et classes d'équivalence

    On peut toujours chipoter sur la rédaction, mais sinon c'est OK.

    Cdt

  7. #6
    invite82c0c4f3

    Re : Relation d'équivalence et classes d'équivalence

    merci beaucoup, je passe à la prochaine question!

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