Classes d'équivalence

[invite51a3f1d4]

Bonsoir tout le monde !
Alors, voila : G est un groupe,
H1 et H2 sont deux sous-groupes,
R1 est la relation d'équivalence sur G de congruence modulo H1,
R2 idem modulo H2
R idem modulo Intersection(H1,H2).

Je me demande s'il y a un lien entre le nombre de classes pour R et le nombre de classes pour R1 et R2. Vous en pensez quoi ?
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[Médiat]

Etudie quelques cas limites
1) H1 = H2 = G,
2) H1 ={e}, H2 = G
3) H1 inter H2 = {e} (avec H1 et H2 diférents de {e}, ce n'est pas possible dans certains groupes, mais comme G n'est pas précisé...)

[invite51a3f1d4]

Merci, ça m'aide un peu. Grâce aux cas limites 1 et 2, on pourrait envisager une multiplication des cardinaux.
Que veut-tu dire dans le 3 ? Je suis justement dans le cas H1 inter H2 = e avec H1 et H2 distincts.

[Médiat]

Merci, ça m'aide un peu. Grâce aux cas limites 1 et 2, on pourrait envisager une multiplication des cardinaux.
Que veut-tu dire dans le 3 ? Je suis justement dans le cas H1 inter H2 = e avec H1 et H2 distincts.

Il me semble plutôt que l'on ne peut pas dire grand-chose dans le cas général.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51a3f1d4]

Ah bon ... . Merci de ton aide, je vais chercher à faire autrement

[invite4ef352d8]

Salut !


le nombre de classe d'équivalence pour R1 c'est (card G)/(card H1)

(enfin en supposant les groupes finit bien sur...)


donc en fait, ce que tu cherche c'est une relation entre card(H1), card(H2) et card (H1 inter H2)

ce qui n'existe pas pour un groupe quelconque... maintenant ca dépend de G

[invite51a3f1d4]

Oui, c'est vrai que vu de cette façon, on peut dire qu'il n'y a pas de relation systématique. Par ailleurs, mon groupe G n'est pas "particulier", je sais juste qu'il a 2n éléments. H1 et H2 ont n éléments et H1 inter H2 = e ...

[Médiat]

Oui, c'est vrai que vu de cette façon, on peut dire qu'il n'y a pas de relation systématique. Par ailleurs, mon groupe G n'est pas "particulier", je sais juste qu'il a 2n éléments. H1 et H2 ont n éléments et H1 inter H2 = e ...

Tu aurais pu tout dire depuis le début

[invite51a3f1d4]

Non mais je me posais vraiment la question si dans le cas général il y avait une relation. Je veux pas à priori que vous résolviez mon exo

[invite35452583]

Oui, c'est vrai que vu de cette façon, on peut dire qu'il n'y a pas de relation systématique. Par ailleurs, mon groupe G n'est pas "particulier", je sais juste qu'il a 2n éléments. H1 et H2 ont n éléments et H1 inter H2 = e ...

Pas particulier ? les conditions le définissent presque (seulement deux possibilités) à isomorphisme près quand même.
Histoire de ne pas résoudre en "direct" je vais voiler :

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Si n=1, H1 et H2 ont un élément H1 inter H2=H1=H2={e} G est isomorphe à Z/2Z seul structure de groupe de cardinal 2.
Si n>1, H1 et H2 étant d'indice 2 sont distingués dans G.
On considère G->>G/H1, ce morphisme est surjectif, de noyau H1.
Sa restriction à H2 est aussi un morphisme dont le noyau est égal à H1 inter H2={e} donc est injectif.
H2 n'étant pas réduit à {e} l'image a un cardinal>1 et est dans (G/H1 iso à Z/2Z) donc égal à G/H1.
Donc le morphisme est un iso donc H2 est iso à Z/2Z donc n=2.
G est donc un groupe de cardinal 4=2x2 ayant deux sous-groupes d'ordre 2 distincts donc est isomorphe à Z/2ZxZ/2Z.