Vocabulaire: classes"d'équivalence"?

[invite0f6cbdd7]

Bonjour,
Ne parle-t-on de classes d'équivalence que lorsque la relation est une relation d'équivalence?

Par exemple:
R relation sur les entiers naturels définie par:
xRy ssi x et y ont au moins un chiffre en commun.
La relation R n'est pas transitive, elle n'est donc pas d'équivalence.
1;11;4510;...sont tous en relation (ils ont tous le chiffre1).Comment appelle-t-on l'ensemble de tous les entiers qui contiennent le chiffre 1? Une classe? Il y a un nom pour ça? Peut-on parler de classe d'équivalence(même si la relation n'est pas d'équivalence)? Et dans ce cas les "classes d'équivalence" ne constituraient pas une partition de N.
Enfin bref, existe-t-il un terme pour cela et quel ,est-il?
Merci
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[invitedb5bdc8a]

Oui, on ne parle de classes d'équivalences que lorsqu'il s'agit d'une relation d'équivalence. L'intérêt des classes d'équivalences est qu'elles ont une intersection vide et forment une partition de l'ensemble considéré. Dans ton exemple les classes que l'on peut définir des nombres qui s'écrivent avec le chiffre 1 et de ceux qui s'écrivent avec le chiffre 2 ont une intersection non vide.

[invite636fa06b]

Bonjour,
Ne parle-t-on de classes d'équivalence que lorsque la relation est une relation d'équivalence

Bonjour,

Le problème me semble être qu'avant une définition, il faut généralement montrer une propriété (existence, invariance, unicité, stabilité, compatibilité...). Pour les sous-ensembles, c'est souvent stabilité et compatibilité.

Essayons de jouer avec ta relation.
A chaque n, on peut associer une partie P(n) qui sera l'ensemble des entiers en relation avec n. Grâce à la réflexibilité de ta relation, cela ne pose pas problème.
Posons a=1234567890. P(a)=N et a appartient à P(n) quel que soit n.
Pour que la définition d'une classe ait un sens, il faut que l'on arrive à une partie stable pour une famille de nombre.
Les opérations simples que l'on peut utiliser sont la réunion ou l'intersection.
Pour la réunion, on pourrait dire que

mais cela donne N pour tout n
Avec l'intersection on obtient soit l'ensemble vide si n contient plus d'un chiffre, soit l'ensemble des nombres qui s'écrivent uniquement avec un seul chiffre : {2,22,222,...}
Donc là aussi pas grand chose d'intéressant.

Au final, la seule notion de classe qui peut présenter un léger intérêt serait du type P(n) avec n<10 puis leurs intersections...mais cela revient à une autre relation qui serait nRp ssi tous les chiffres de n figurent dans p. C'est une relation transitive