Définition d'un tenseur

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

J'aurai une question sur la définition d'un tenseur.

Pour moi un tenseur est un élément du produit tensoriel (le nombre de fois où les espaces apparaissent va donner le nombre de fois où le tenseur est contravariant et covariant), avec en plus la loi de transformation à partir du moment où on le munit d'une base.

Seulement dans mon cours on a juste écrit qu'un tenseur est un élément du produit tensoriel que j'ai cité et qu'on constate qu'il se change selon une certaine loi de transformation quand on le change d'une carte vers une autre.

Mais pour moi la loi de transformation doit faire partit de la définition non ?

En effet on peut imaginer une quantité de définie sur une base donnée par (j'utilise la sommation d'Einstein ici) :



qui s'écrive sous une autre forme dans une autre base de telle sorte que cette autre forme ne respecte pas les lois de changement de base classique fenant intervenir les .

Êtes vous d'accord avec moi où il y a quelque chose que je n'ai pas compris ?

Merci.
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[Amanuensis]

Mais pour moi la loi de transformation doit faire partit de la définition non ?

(À ce qu'il me semble)

Non, elle découle de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels. (Ou, aussi: oui, mais elle est déjà incluse dans "produit tensoriel".)

Faudrait remonter un cran, parler de produit cartésien, etc.

[invite8f6d0dd4]

Salut

J'ai la réponse : en fait un tenseur c'est juste une application des TpM * ... * Tpm^*

Tous les tenseurs se transforment par construction comme ce que j'ai dit dans mon précédent message.

Le problème c'est que pour certains tenseurs, donner le coefficient peut être ambigü si on ne fait pas référence à une base donnée bien précise, alors que pour d'autre tenseur il n'y aura pas d'ambiguité de définition (l'expression du tenseur aura "la même forme" dans toutes les bases).

Enfin en gros je m'étais embrouillé entre la définition rigoureuse d'un tenseur et le fait qu'il existe des tenseurs qu'on ne peut pas définir sans les exprimer dans une base bien choisie.