Bonjour
Soit s un real positif donne et f une fonction donnee
Supposons v(x,t;s) solution de
v_{tt}-v_{xx}=0; x dans R et t >s
v(x,s)=0 ; x dans R
v_{t}(x,s)=f(x,s) ; x dans R
Montrer que u(x,t)= int_0^t v(x,t;s) ds
est solution de
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t); x dans R et t >0
u(x,0)=0 ; x dans R
u_{t}(x,0)=0; x dans R
Merci d'avance
Bonjour, on'a :
le deuxième terme du second membre est nul (conditions initiales).
une deuxième différentiation par rapport à t:
les conditions donnent :
(1)
il suffit aussi de différentier la fonction à intégrer...:
(1)-(2)=0 ,plus les données : u vérifie
Dernière modification par azizovsky ; 27/11/2016 à 13h27.
(1) et (2) + données....
merci pour l'idee, mais est ce que dans la premiere derivation on met
v(x,t;s)_{s=t} =v(x,t,t)
ou
v(x,t;s)_{t=s} =v(x,s,s)
c'est une bonne methode que vous presentez
Merci
v(x,t;s)_{t=s} =v(x,s,s)=v(x,s)=0 (condition initiale) (répétition des variables...)Envoyé par frjulien
Dernière modification par azizovsky ; 27/11/2016 à 14h02.
vous avez utilisé
$$ \partial v_t (x,t,s)_{|t=s}=\partial v_t (x,s,s) =f(x,s)$$
Pour obtenir l'equation (1) de la relation precedente vous avez utilisé $f(x,t)$ au lieu de $f(x,s)$
Il y a quelques choses qui manque je pense
Dernière modification par frjulien ; 27/11/2016 à 19h18.
la seconde condition est
le terme qui n'est pas sous le signe somme :
le terme qui n'est pas sous le signe somme on prend s=t ou t= s
Au sujet du termine qui n'est pas sous le signe somme:
Remarque 1: Si on prend t=s, et dans la premiere derivation on obtient v(x,s;s)=v(x,s)=0
et si on prend t=s dans la seconde serivation on obtient v_t(x,s,s)=f(x,s) mais nous on a besoin de f(x,t) dans la relation (2)
Remarque 2:
Si on prend s=t dans la premiere derivation on obtient v(x,t;t) et dans ce cas ce n'est pas nul , ce n'est pas une donnee initiale.
Je pense qu'il faut prendre t=s dans ce cas la premiere derivation on a bien v(x,s;s)=0
mais dans la seconde derivation si on continue et on prend t=s on obtient v_t(x;s;s)=f(x,s) au lieu de f(x,t) qui est la bonne quantite dan (2)?????
