probabilites

[invitead7b5233]

Bonjour à tous
Exercice certainement très basique pour vous mais j'aimerais comprendre comment on peut calculer la probabilité de l evenement "le lievre gagne" sans passer par le calcul de la proba de "la tortue gagne" puis chercher le complementaire...

Une partie du jeu du lievre et de la tortue se deroule ainsi :
On lance un de. Si le de tombe sur 1, 2, 3, 4 ou 5 la tortue avance d'une case. Elle a 5 cases a franchir
avant d'atteindre l'arrivee. La partie est alors terminee, la tortue a gagne. Si le de tombe sur 6 le
lievre atteint directement l'arrivee. La partie est alors terminee, le lievre a gagne.
La partie continue jusqu'a ce qu'il y ait un gagnant. Quelle est la situation la plus enviable : celle du
lievre ou celle de la tortue ?

Pour la tortue je comprends que pour qu elle gagne il faut que le dé tombe 5 fois consecutivement sur 1,2,3,4 ou 5 (proba =5/6) donc
P "tortue gagne" = (5/6)^5 = 0.402
donc P"lievre"= 1-0.402=0.598
mais quelle est la proba detaillée que le lievre gagne?

Merci beaucoup
Cordialement
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[invite9dc7b526]

Tu peux dire que le lièvre gagne s'il tire un 6 en moins de 5 épreuves. Le nombre d'épreuves avant d'obtenir un 6 suit la loi géométrique de paramètre 1/6.

[invitef29758b5]

Salut .
Tu calcules tous les termes du binôme (p + q)⁵ et tu fais la sommes des 5 premiers .

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pour le fun, j'ai fait une petite simulation ( 10 x 10 x 1000 jeux), je trouve 0.395% pour la tortue, donc 0.605 pour le lièvre, il est évident qu'il vaut mieux jouer le lièvre, mais il y a tout de même une différence de 0.007, ce qui n'est pas négligeable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitead7b5233]

Merci à vous 2 pour les réponses
je suis désolée mais je dois etre un cas irrecuperable mais je ne comprends pas vraiment vos solutions?
concretement le calcul serait quoi?
concernant la loi geometrique, c'est en reference au fait que ma variable suit une loi de Bernoulli?
et concernant le binome (p+q)^5, pourquoi?
encore merci et désolée , je suis un peu la tortue sur ce coup la

[invite9dc7b526]

Le lièvre gagne si et seulement si il sort un 6 avant que la tortue n'ait gagné, c'est-à-dire au plus tard à la cinquième épreuve. Donc tu dois calculer la probabilité que le premier 6 apparaisse au coup 5 ou avant. Si je note X la variable aléatoire "indice du premier coup auquel un 6 apparaît", Y=X-1 suit la loi géométrique de paramètre 1/6 (c'est juste la définition de la loi géométrique), et donc P(Y=k)=(5/6)^k(1/6) Tu n'as plus qu'à additionner les termes P(Y=k) pour k=0 à 4. Mais c'est plus simple de calculer la probabilité que le lièvre perde...

[invitef29758b5]

et concernant le binome (p+q)^5, pourquoi?

La loi binomiale est parfaitement adaptée à ce genre de cas .
Chaque terme du binôme développé te donne la probabilité d' un cas parmi les 6 possibles en 5 tirages .
Il est plus facile de calculer le premier ou le dernier terme que de faire la somme des 5 autres .
C' est pour ça qu' on calcule la probabilité que la tortue gagne (un terme) et qu' on en déduit celle que le lievre (somme de 5 termes) en prenant le complément à 1 .

[invitebd98b571]

Bonsoir

Pour le fun, j'ai fait une petite simulation ( 10 x 10 x 1000 jeux), je trouve 0.395 pour la tortue, donc 0.605 pour le lièvre, il est évident qu'il vaut mieux jouer le lièvre, mais il y a tout de même une différence de 0.007, ce qui n'est pas négligeable.

En effet, cette différence de 0.007 entre la probabilité théorique et ton observation sur 100 000 essais est symptomatique d'un souci extrêmement probable dans ta simulation.

[Dlzlogic]

Bonjour Pr___
Et toi, tu trouves combien avec 10 x 10 x 1000 ?
Il est vrai que ça fait en tout 100000 tirages, mais pour avoir un bon suivi, j'ai lancé 10 fois le programme qui calcule 10 parties de 1000 jeux.

[invitead7b5233]

Merci beaucoup à vous !