Champ de vecteurs sur la sphère (définition du physicien)

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 10h43

Bonjour,

ces temps-ci je joue à la géométrie différentielle avec martini_bird. Si d'autres veulent se joindre à nous, on réussira surement à enrichir le forum à ce sujet (qui est relativement pauvre contrairement à d'autres sujet).

Je ne cache pas que je souhaite en profiter pour accélérer ma compréhension.

Si on associe un vecteur à chaque point de la sphère, on obtient un champ vectoriel. Dans un autre message, j'ai donné l'exemple d'un champ vectoriel (tangent aux grands cercles, i.e. aux méridiens)

$\text{[math]}$ (1)

On trouve les vecteurs tangent en un point en appliquant ce champ sur un point de la sphère :

$\text{[math]}$

où évidemment $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ étant l'angle du point avec l'axe z. Donc,

$\text{[math]}$ .

Comme martini_bird l'a fait remarqué, ce champ est singulier aux pôles ( $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ), dans le sens où on a une infinité de vecteurs (un pour chaque $\text{[math]}$ en ces endroits, voir figure1). Un exemple moins louche pourrait être un champ vectoriel

$\text{[math]}$ ,

qui s'annule aux pôles (voir figure2). On enlève ainsi les singularités.

Maintenant, ce que je cherche à faire, c'est de définir ces vecteur sur les cartes (c'est ce qu'on appelle la définition du physicien d'un champ vectoriel) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ données par la projection stéréographique aux pôles sud et nord, respectivement. Pour ce faire, j'oublie pour l'instant tout existence du champ vectoriel.
La correspondance entre un point $\text{[math]}$ de la sphère et un point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est données par

$\text{[math]}$ ,

de même que la correspondance entre y et $\text{[math]}$ est donnée par

$\text{[math]}$ .

Maintenant, au lieu de travailler sur la sphère, je travaille sur les cartes et seulement sur les cartes. Avant tout, je sais que sur les cartes, je peux définir un champ vectoriel quelconque

$\text{[math]}$

et par

$\text{[math]}$ .

Supposons que je connaisse le champ sur $\text{[math]}$ (je connais $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ), alors je trouve très facilement le champ sur $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont liés à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ par la jacobienne. De la même façon, si je connais $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , il m'est très facile de trouver $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Il me manque donc une seule chose: $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ OU $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Dans mes notes, il est écrit que je peux les choisir arbitrairement (!?). Je ne comprends pas pourquoi. Pourquoi ne cherche t-on pas à trouver un lien entre le vecteur v tangent à la sphère en y et le vecteur sur la carte $\text{[math]}$ au point $\text{[math]}$ ? De même, pourquoi ne cherche-t-on pas un lien entre v (tangent à y) et le vecteur sur la carte $\text{[math]}$ au point $\text{[math]}$ ?

Je pense que la réponse est la suivante, mais j'aimerais confirmation. Si on part d'une sphère, il y a beaucoup beaucoup de façon de choisir des cartes qui couvrent la sphère. Or, il semble que la relation entre v (en p) et $\text{[math]}$ dépende de h. En d'autres mots, il faut trouver la relation entre le vecteur sur la sphère et le vecteur sur la carte (un système de coordonnées locales) POUR CHAQUE CARTE.

Donc, l'arbitrarité du choix du champ vectoriel sur une carte serait directement lié à l'arbitrarité du choix de cartes sur la sphère?

Merci pour vos commentaires et surtout votre aide à la compréhension de cette délicieuse matière!

Salutations,

Simon

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 11h48

J'ai une question (encore

).

Je me demande si le choix du champ sur une des cartes est TOUT À FAIT arbitraire, ou bien faut-il respecter au moins certaines choses... Par exemple, si j'ai un champ (sur la sphère) qui s'annule aux 2 pôle, puis-je définir un champ sur les cartes, de façon à ce que ce champ s'annule seulement sur un des pôles?

Je suis capable de le faire, là n'est pas le problème. Je me demande seulement s'il n'y aurait pas une raison pour choisir un champ (sur les cartes) qui s'annule aux même points que celui sur la sphère...

Salutations,

Simon

**invite4793db90** · 24/04/2006, 15h43

Salut,

je vais te dire comment je vois les choses (à prendre avec du recul, car j'apprends en même temps que toi

).

Déjà, en plus des projections stérégraphiques on avait déjà une carte, à savoir

$\text{[math]}$

où N et S sont bien sûr les pôles nord et sud.

Maintenant, j'ai eu une illumination : il est clair les champs de vecteurs n'appartiennent pas à la variété et donc ils sont "perdus" par projection sur une carte. Mais il y a quelque chose qui est directement relié aux champs de vecteurs et qui est sur la variété : les flots (les trajectoires intégrales). Je crois donc que la façon la plus naturelle de dessiner un champ de vecteurs sur une carte est que le flot des vecteurs sur la carte soit l'image du flot sur la variété.

Exemple : les flots du champ $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ sont les demi-grands cercles joignant N à S. Donc l' "image" par la carte $\text{[math]}$ de X est le champ constant de coordonnées $\text{[math]}$ ce qui correspond bien au couple $\text{[math]}$ de la décomposition $\text{[math]}$ . Sur la figure, en rouge sont dessinés un flot de X sur $\text{[math]}$ et le flot correspondant sur la carte.

Bon maintenant, par la projection $\text{[math]}$ , il est clair que les flots de X doivent être des demi-droites d'origine l'origine du repère (figure 2). J'appelle $\text{[math]}$ les coordonnées sur $\text{[math]}$ . On dispose du changement de carte $\text{[math]}$ qui à $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ . Le calcul de la jacobienne donne :

$\text{[math]}$

Et donc l'image de X par g est bien le champ

$\text{[math]}$

que l'on aurait pu trouver par un calcul direct.

Voili j'espère que ça t'aidera.

Cordialement.

**invite4793db90** · 24/04/2006, 15h58

Re,

j'ai commis une erreur de recopie de la jacobienne :

$\text{[math]}$

Sinon, pour les changements de cartes, il est clair que la jacobienne ne dépend que du germe en 0 par définition (on peut d'ailleurs la voir comme un vecteur tangent).

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6b1e2c2e · 24/04/2006, 16h15

Salut,

Je vois que vous vous essayez à une théorie bien compliquée, mais que j'avais essayé de regarder un jour... Vous travaillez sur quoi pour apprendre toutes ces jolies choses ? Mneismé Testard ? Lafontaine ? Cours de Paulin ? Autre ?
Parce que bien que toutes les notions dont vous parlez me semblent familières, voire intuitives, je ne saurai pas les utiliser de façon rigoureuse. Les cartes, les changements de carte, les variétés orientables, tout ça, c'est des trucs qui n'ont jamais vraiment éclairé ma compréhension des variétés différentiables, machin dont je ne retiens que la définition qu'un physicien m'avait donné : C'est localement difféomorphe à un ouvert de R^P...

__
rvz

invite8b04eba7 · 24/04/2006, 18h02

Envoyé par rvz

Les cartes, les changements de carte, les variétés orientables, tout ça, c'est des trucs qui n'ont jamais vraiment éclairé ma compréhension des variétés différentiables, machin dont je ne retiens que la définition qu'un physicien m'avait donné : C'est localement difféomorphe à un ouvert de R^P...

Moi je trouve que le plus simple, c'est de penser d'abord à des sous-variétés de R^n : une sous-variété de dimension p, c'est dans sa forme la plus simple, un sous-espace vectoriel de dimension p ; le problème, c'est que pour la géométrie, c'est pas très convaicant, donc on prend cette variété comme modèle mais on s'autorise les trucs tordus par certaines applications.

Par exemple, on veut que le "noyau" d'une application différentiable de R^n dans R^k (ou son image) soit une variété ; il faut bien sûr rajouter certaines hypothèses sur les fonctions pour que ça marche bien.

Pour les variétés abstraites, comme tu l'as dit, on veut que ce soit localement homéomorphe à des ouverts de R^p. Le problème, c'est qu'il faut ensuite recoller tous ces ouverts, et c'est là qu'intervient la notion de cartes : les ouverts, munis des homéomorphismes, doivent vérifier des conditions de compatibilté pour que tout se recolle.

Prends l'exemple de la sphère de dimension 2 : tu voudrais l'aplatir (pour avoir des ouverts de R^2), mais tu ne peux pas le faire entièrement de façon correcte. Donc tu enlèves un point ou une portion et tu étires le reste ; tu peux faire pareil de l'autre coté, et il faut que tes deux façons de l'étirer coïncident bien. Pense aux projections stéréographique (à un planisphère, quoi).

Pour les références, je ne connais que le cours de Paulin : il est assez abstrait, mais il y a de jolis dessins qui font comprendre ce qui se passe. Mais le mieux reste d'assister carrément à un cours de géométrie...

**invite4793db90** · 24/04/2006, 18h15

Salut rvz,

pour ma part, j'ai un livre de F. Pham et un autre (dont je tais la référence) qui ne me sert absolument pas (mal présenté et mal fait). Sinon j'ai feuilleté le cours de F. Paulin et des cours de RG.

Cependant j'ai toujours étudié la géo diff en dillettante : j'en apprends toujours un peu plus, mais je suis loin de connaître le sujet.

C'est localement difféomorphe à un ouvert de R^P...

Et moi j'ai lu la version algébrique qui tue : une variété différentiable un espace annelé localement isomorphe à un ouvert de $\text{[math]}$ muni du faisceau des fonctions différentiables...

Cordialement.

PS : j'en profite pour signaler que ma figure de la projection stéréographique n'est pas exactement celle donnée par Simon : le plan devrait passer par l'équateur. M'enfin, ce n'est pas fondamental puisque les deux projections sont homothétiques.

EDIT : croisement avec doudache.

invite6b1e2c2e · 24/04/2006, 18h19

Bonjour,

Je suis tout à fait d'accord avec toi. Comme je le disais, les définitions de ce genre de choses ne me posent pas de problème, mais je n'ai jamais compris en quoi ce formalisme aidait au schmilblik. Si tu veux, je reformule ma question :
Existe-t-il des preuves faites avec cette théorie qui ne semblent pas tout à fait évidentes avec un bon dessin ?

PS : Bon, puisque j'ai affaire à des gens qui s'y connaissent un peu, quelqu'un peu peut m'expliquer un peu le concept de variété orientable ? Parce que ça, je n'ai vraiment jamais compris ce que c'était...

__
rvz, qui n'a jamais réussi à aller au bout du cours de Paulin

invite6b1e2c2e · 24/04/2006, 18h23

Envoyé par martini_bird

Et moi j'ai lu la version algébrique qui tue : une variété différentiable un espace annelé localement isomorphe à un ouvert de $\text{[math]}$ muni du faisceau des fonctions différentiables...

Beurk !
En même temps, je suis content de voir que même pour un algébriste (tu es bien algébriste non ? ), la théorie des faisceaux, ça fait peur ... Quand je pense que des copains ont essayé de me convaincre que c'était la bonne manière d'envisager les problèmes concrets d'analyse

__
rvz

**invite4793db90** · 24/04/2006, 18h37

Existe-t-il des preuves faites avec cette théorie qui ne semblent pas tout à fait évidentes avec un bon dessin ?

Ben pour prendre un exemple simple, il n'y a pas 36 façons de traiter des espaces courbes. Après, il y a des choses bien compliquées comme la théorie de Cartan mais ne me demande pas de t'en parler...

(tu es bien algébriste non ? )

Euh non... Je suis rien du tout en fait, juste un curieux.

En ce qui concerne la théorie des faisceaux, ma manière de faire est de voir un peu ce qui se faisait avant Leray avec des bouquins d'histoire. M'enfin, c'est clair que c'est abstrait.

Cordialement.

invite6b1e2c2e · 24/04/2006, 18h41

Envoyé par martini_bird

En ce qui concerne la théorie des faisceaux, ma manière de faire est de voir un peu ce qui se faisait avant Leray avec des bouquins d'histoire. M'enfin, c'est clair que c'est abstrait.

Leray ? Celui des équations de Navier Stokes ?

Bon, d'accord, les espaces courbes, c'est pas forcément très intuitif.

Tu n'es pas algébriste ? Eh bien, je trouve que tu connais plein de choses pour un "non pro"

En particulier en algèbre...
__
rvz

**invite4793db90** · 24/04/2006, 18h43

Leray ? Celui des équations de Navier Stokes ?

Oui c'est le même :

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~...ies/Leray.html

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 19h29

Envoyé par rvz

Je vois que vous vous essayez à une théorie bien compliquée, mais que j'avais essayé de regarder un jour... Vous travaillez sur quoi pour apprendre toutes ces jolies choses ?

Pour ma part, je suis présentement le cours de Mme Durrer, et ma source d'info est majoritairement ses notes de cours. Les livres qui me sont les plus utiles pour approfondir ce que j'apprends dans le cours (dans le sens que les mêmes sujets sont abordés selon un point de vue semblable) sont Straumann, Choquet-Bruhat, Analysis, Manifolds and Physics Rev. Ed., North-Holland (1982), Westenholz, et Frankel.

Je précise que je suis physicien

Je continue ma lecture...

Salutations,

Simon

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 19h39

Envoyé par martini_bird

Déjà, en plus des projections stérégraphiques on avait déjà une carte, à savoir

$\text{[math]}$

où N et S sont bien sûr les pôles nord et sud.

Tu vois à quoi elle peut servir? Déjà, on recouvre tout la sphère par les projections au pôle sud et nord....

Je continue à lire, c'est juste un commentaire en passant.

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 19h43

Avant de continuer, je propose la lecture de la discussion suivante:

http://www.physicsforums.com/archive...p/t-47610.html

Elle sera surtout utile à ceux qui ont déjà une base en géométrie différentielle. Pour ma part, j'ai énormément appris à lire ces quelques messages.

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 20h07

Envoyé par martini_bird

Maintenant, j'ai eu une illumination : il est clair les champs de vecteurs n'appartiennent pas à la variété et donc ils sont "perdus" par projection sur une carte. Mais il y a quelque chose qui est directement relié aux champs de vecteurs et qui est sur la variété : les flots (les trajectoires intégrales). Je crois donc que la façon la plus naturelle de dessiner un champ de vecteurs sur une carte est que le flot des vecteurs sur la carte soit l'image du flot sur la variété.

Je pense qu'il n'est pas nécessaire de trouver un lien entre le champ sur la variété et le champ sur la carte. Regarde les notes de cours de Ruth Durrer, p.20, ce qui est identique à ce que j'ai copié du livre de Straumann ici.
Dans ce que j'ai copié j'ai peut être oublié un bout de phrase important. Voici ce qui suit dans le livre:

"...pour lesquelles $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .
Ces applications forment un espace vectoriel : pour un germe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on peut choisir $\text{[math]}$ de façon arbitraire; pour chaque autre germe de carte $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est déterminé par

$\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est alors isomorphe à $\text{[math]}$ . Chaque choix d'un système de coordonnées définit un isomorphisme entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ."

On dirait que ça dit: ne cherche pas un lien entre le champ de la variété et le champ de la sphère (c'est aussi ce que la discussion sur physicsfurm semble dire): choisi un champ arbitrairement sur une carte, cela fixe le champ sur l'autre carte.

Mais bon, ça me semble un peu tiré par les cheveux, je ne suis pas absolument convaincu...

Salutations,

Simon

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 21h24

Envoyé par martini_bird

Salut,

je vais te dire comment je vois les choses...

Je dois avouer que c'est bien pensé... c'est très logique, t'es vraiment fort mb!!

Il y a cependant quelque chose qui me titille...Que dois-je comprendre dans mes notes de cours lorsque je lis : "on peut choisir $\text{[math]}$ de façon arbitraire"?

Aussi, dans la définition que je cite de Straumann (même chose que dans les notes de Ruth), on parle d'un germe de carte $\text{[math]}$ . Je ne vois rien qui ressemble à ça dans ton message, et en plus, je ne comprends pas trop ce que ça veut dire...

Merci en tout cas, je commence à voir un peu ce qui se passe... pas facile quand même la géo diff....

a+

Simon

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 21h30

Envoyé par Lévesque

Tu vois à quoi elle peut servir? Déjà, on recouvre tout la sphère par les projections au pôle sud et nord...

Désolé. Là je vois à quoi elle sert...

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 21h33

Envoyé par Lévesque

Je pense qu'il n'est pas nécessaire de trouver un lien entre le champ sur la variété et le champ sur la carte.

blâ blâ blâ...

Si j'ai bien compris, j'ai tout compris de travers. Je reformule:

On ne peut pas définir le champ sur la sphère à partir de la définition d'un champ sur une carte, parce que le champ sur la sphère dépendrait du système de coordonnées, ce qu'on souhaite éviter.

D'un autre côté, si on définit un champ sur la variété, je crois bien que le champ sur la carte est lié à celui-ci. Il faut, me semble-t-il, que le champ sur la carte contienne de l'information sur le champ de la variété!? Ce qui justifierait la démarche de mb?

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 21h38

Envoyé par rvz

Les cartes, les changements de carte, les variétés orientables, tout ça, c'est des trucs qui n'ont jamais vraiment éclairé ma compréhension des variétés différentiables, machin dont je ne retiens que la définition qu'un physicien m'avait donné : C'est localement difféomorphe à un ouvert de R^P...

Envoyé par Wald

Notre situation est très similaire à celle d'explorateurs hypothétiques, scrutant la surface de la Terre dans une période qui précède les explorations de Colomb et de Magellan. De tels explorateurs pourraient noter que, dans le voisinage immédiat, ils peuvent caractériser par seulement deux nombres les positions à la surface de la Terre. Cependant, ils feraient une sérieuse erreur s'ils extrapolaient cette hypothèse à la surface entière de la Terre, en concluant que l'ensemble complet de tous les points de sa surface puissent être mis continûment en correspondance univoque avec les points de $\text{[math]}$ . Cela dit, la base mathématique requise pour débuter notre exploration de la structure de l'espace-temps (aussi bien que la surface de la Terre) est la notion précise d'une variété, c'est-à-dire un ensemble de points dont le voisinage immédiat "ressemble" à $\text{[math]}$ , mais qui peut admettre des propriétés globales très différentes.

J'aime bien cette citation...

Simon

invite8ef93ceb · 24/04/2006, 22h37

Envoyé par martini_bird

Re,

j'ai commis une erreur de recopie de la jacobienne :

$\text{[math]}$

J'obtiens (?):

$\text{[math]}$

Sinon, pour les changements de cartes, il est clair que la jacobienne ne dépend que du germe en 0 par définition (on peut d'ailleurs la voir comme un vecteur tangent).

Je ne comprends pas ce qui est souligné....

**invite4793db90** · 25/04/2006, 07h58

Salut,

J'obtiens (?): [...]

En effet un signe moins qui s'est égaré...

Et il faut corriger ma figure pour la projection stéréographique en conséquence : les vecteurs doivent être dirigés vers l'origine !

Bonne journée !

Champ de vecteurs sur la sphère (définition du physicien)

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