géométrie algébrique et approximation de fonctions à n variables

[mtheory]

Bonjour,
Je me pose quelques questions en ce moment sur la géométrie algébrique et l'analyse sur des variétés.
Peut-on considérer que l'on peut classifier topologiquement ou pour le moins approximer localement toutes les fonctions continues par des variétés algébriques ?
C'est une question de "physicien", j'imagine qu'elle doit être formulée de façon un peu idiote/simpliste pour un expert du domaine.
Ce que je voudrais savoir en fait c'est si une bonne approche pour étudier des fonctions de n variables (dérivées comprises) est que l'on peut considérer sur un ou plusieurs domaines que l'on peut les approximer par un polynôme à n variables.
Peut on aussi considérer, disons dans le plan ou sur une surface, que l'on peut décrire, classifier toutes les fonctions possibles (disons pas trop pathologiques)/ lignes de champs, avec des fonctions algébriques et des considérations de géométrie algébriques ?
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[invite5357f325]

Quelques théorèmes qui vont dans ta direction (je ne sais pas à quel niveau tu te place) : le théorème de Taylor, le théorème d'Approximation de Weierstrass sont des exemples où des séries formelles/polynômes approximent des fonctions continues. On ne peut pas approximer des fonctions continues par des polynômes si l'espace est non compact en général (pour des problèmes de croissance).
Pour les variétés : le théorème de Nash te dit que toute variété compact est homéomorphe à une variété semialgébrique réelle (semialgébrique signifie qu'en plus d'équations polynomiales tu as aussi des inégalités polynomiales) : https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_f...Nash_manifolds

[invitecbade190]

Bonjour,

De point de vue de la géométrie ( algébrique ) complexe, J'ai posé la même question il n'y'a pas longtemps sur le forum, tu peux vérifier en faisant une recherche sur le forum en tapant le mot clé : variété projective et pour l'identifiant , tu tapes chentouf.

Cordialement.

[mtheory]

Quelques théorèmes qui vont dans ta direction (je ne sais pas à quel niveau tu te place) : le théorème de Taylor, le théorème d'Approximation de Weierstrass sont des exemples où des séries formelles/polynômes approximent des fonctions continues. On ne peut pas approximer des fonctions continues par des polynômes si l'espace est non compact en général

Oui mais ça c'est pour des fonctions continues d'une variable réelle, moi ce qui m'intéresse c'est le cas à n variables. La géométrie algébrique est superbe mais j'ai l'impression qu'elle se limite à des fonctions/surface très particulières, et je pense que je dois me tromper. Ce que je voudrai savoir c'est si en définitive, elle constitue une sorte d'outil universel qui permet au moins d'approximer/classifier raisonnablement toutes les fonctions et variétés différentiables possibles. Je ne sais pas si je me fait bien comprendre.
Merci de répondre déjà en tout cas .

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

Pour les variétés : le théorème de Nash te dit que toute variété compact est homéomorphe à une variété semialgébrique réelle (semialgébrique signifie qu'en plus d'équations polynomiales tu as aussi des inégalités polynomiales) : https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_f...Nash_manifolds

effectivement, on dirait que ça va dans la direction des questions et conjectures que je fais.

[invite9dc7b526]

Oui mais ça c'est pour des fonctions continues d'une variable réelle, moi ce qui m'intéresse c'est le cas à n variables.

les fonctions de n variables suffsamment lisses ont un développement en série de Taylor. Il faut bien sûr que les dérivées partielles existent et soient continues. Mais je crois comprendre que ce n'est pas ça que tu cherches, tu cherches une approximation globale et pas seulement locale, c'est bien ça?

[mtheory]

les fonctions de n variables suffsamment lisses ont un développement en série de Taylor. Il faut bien sûr que les dérivées partielles existent et soient continues. Mais je crois comprendre que ce n'est pas ça que tu cherches, tu cherches une approximation globale et pas seulement locale, c'est bien ça?

J'imagine que globale c'est trop demander, local ça permet déjà de faire pas mal de chose il me semble non ? Désolé si je parais stupide et gauche dans mes questions et réflexions, c'est certainement le cas, j'essaye de préciser mes idées sur la géométrie algébrique pour voir jusqu'où je peux m'y investir. Je ne doute pas une seconde que le sujet soit magnifique en lui-même mais j'aimerai optimiser ce que je fais.
Je sais qu'on peut faire un développement de Taylor à n variables, enfin, je crois savoir, mais ce que j'ai aussi en tête c'est si en qq sorte le théorème de Weierstrass peut ou pas se généraliser avec un fonction à n variables sur un domaine donné. Intuitivement je dirais que oui, il devrait suffire de l'appliquer pour chaque variable et on devrait avoir un polynôme qui émerge non ?

[invite47ecce17]

Bonjour,

Oui mais ça c'est pour des fonctions continues d'une variable réelle, moi ce qui m'intéresse c'est le cas à n variables. La géométrie algébrique est superbe mais j'ai l'impression qu'elle se limite à des fonctions/surface très particulières, et je pense que je dois me tromper.

Ben non, tu te trompes pas. Les variétés de la géométrie algébrique sont définies par des equations polynomiales. C'est tres particulier, et c'est pourquoi on peut en dire plein de choses bien plus particulières que des variétés differentiables.

Par exemple des surfaces differentiables (disons orientées, connexes et compacte), y en a pas des masses et on sait tres bien les classifier. Il suffit de se donner une nombre, le genre.

Des courbes (pour des raisons essentiellement liées à C, une dimension algébrique est multipliée par 2 en topologique, donc une courbe algébrique correspond à une surface differentiable), algébrique, (connexe, compacte et lisse) de genre 1, differentes d'un point de vue de la géométrie algébrique y en a plein! D'un point de vue géométrie differentielle, ce sont pourtant toutes la meme, un tore.

Ce que je voudrai savoir c'est si en définitive, elle constitue une sorte d'outil universel qui permet au moins d'approximer/classifier raisonnablement toutes les fonctions et variétés différentiables possibles.

Absolument pas. D'autre part on sait qu'il n'est pas possible d'avoir une classification "raisonnable" des variétés différentiables de dimension >3 à cause du probleme du mot.

Ca ne veut pas dire que la géométrie algébrique ne peut pas t'aider a mieux comprendre la géométrie differentielle. Mais il faudrait preciser ta question.

[invite9dc7b526]

(...) ce que j'ai aussi en tête c'est si en qq sorte le théorème de Weierstrass peut ou pas se généraliser avec un fonction à n variables sur un domaine donné.

est-ce à ça que tu penses? https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%...strass_theorem

[Gondolin]

En lien avec cette question sont tous les théorèmes autour de GAGA (géométrie algébrique, géométrie analytique). Par exemple si X/C est un schéma de type fini complet (son analytification X^an sera compacte) alors la catégorie des faisceaux algébriques cohérents sur X est équivalente à la catégorie des faisceaux analytiques cohérents sur X^an, et une sous-variété Y \subset X fermée pour la topologie analytique sera en fait algébrique.

Par contre tout espace analytique ne vient pas forcément d'un espace algébrique, par exemple en dimension n > 1 tous les tores C^n/\Lambda ne sont pas algébriques. Par GAGA ils sont algébriques ssi on peut les plonger dans un espace projectif, pour cela il faut trouver assez de fonctions méromorphes, et pour cela il faut une forme quadratique définie positive sur le réseau Lambda.