Modes de convergence ( Théorie de la mesure ).

invitecbade190 · 09/12/2016, 18h37

Bonsoir,

Est ce que vous connaissez un endroit sur le net où trouver des exercices simples sur les modes de convergences et les relations qui existent en elles, qu'on trouve dans les cours de théorie de la mesure ? ( convergence $\text{[math]}$ - presque partout, convergence presque uniforme, convergence de Cauchy presque uniforme , convergence en mesure, convergence de Cauchy en mesure, convergence en mesure locale, convergence de Cauchy en mesure locale .. etc ).

J'ai trouvé un exo sympas sur les modes de convergences sur le lien suivant : http://www.les-mathematiques.net/pho...,631050,631093 , mais il y'a un problème d'affichage à cause du Latex, est ce que quelqu'un sait comment retrouver l'énoncé exacte sur ce lien ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 10/12/2016, 16h29

Bonjour,

$\text{[math]}$ est un espace mesuré.

Définition 1) :

$\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ uniformément presque partout si et seulement si :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .

Définition 2) :

$\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ presque uniformément si et seulement si :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .

Question :

- Comment établir que : $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ uniformément presque partout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ presque uniformément.
- A l'aide d'un contre - exemple, pourquoi la réciproque est fausse ?

Merci infiniment pour votre aide.

invitecbade190 · 10/12/2016, 18h19

Re - Bonsoir,

Par hypothèse, $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ uniformément presque partout.
Cela signifie que :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
C'est à dire :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
On pose : $\text{[math]}$ .
Cela implique que : $\text{[math]}$ .
C'est à dire : $\text{[math]}$ , et : $\text{[math]}$ .
En effet : $\text{[math]}$ et : $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .
Est ce que ce raisonnement vous semble correcte ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 11/12/2016, 19h39

Salut à tous,

Pouvez vous m'aider à résoudre le problème suivant ? :

Soit $\text{[math]}$ un espace mesuré où $\text{[math]}$ est une mesure $\text{[math]}$ -finie.
On suppose alors qu'il existe une suite croissante, $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ vérifiant : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
pour tout $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Montrer que si une suite $\text{[math]}$ de fonctions $\text{[math]}$ mesurables est de Cauchy en mesure locale, alors, pour tout $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ des restrictions de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ est de Cauchy en mesure sur $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Montrer que si une suite $\text{[math]}$ de fonctions $\text{[math]}$ telles que pour tout $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ des restrictions de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ est de Cauchy en mesure sur $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ est de Cauchy en mesure locale sur $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Montrer que si une suite $\text{[math]}$ de fonctions $\text{[math]}$ mesurables est de Cauchy $\text{[math]}$ -presque partout, alors pour tout $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ des restrictions de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ est de Cauchy $\text{[math]}$ -presque partout sur $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Montrer que si une suite $\text{[math]}$ de fonctions $\text{[math]}$ mesurables telles que pour tout $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ des restrictions de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ est de Cauchy $\text{[math]}$ -presque partout sur $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ est de Cauchy $\text{[math]}$ -presque partout sur $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ Montrer que si une suite $\text{[math]}$ de fonctions $\text{[math]}$ mesurables est de Cauchy en mesure locale, on peut extraire une suite de Cauchy $\text{[math]}$ - presque partout.
En déduire que toute suite de fonctions $\text{[math]}$ mesurables convergentes en mesure locale admet une suite extraite convergente $\text{[math]}$ -presque partout.

Rappels :

Définition 1:
Soient $\text{[math]}$ une suite de fonctions mesurables.
Alors $\text{[math]}$ converge $\text{[math]}$ - presque partout vers $\text{[math]}$ si : $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$
Définition 2:
Soient $\text{[math]}$ une suite de fonctions mesurables.
Alors $\text{[math]}$ converge en mesure vers $\text{[math]}$ si : $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$
Définition 3:
Soient $\text{[math]}$ une suite de fonctions mesurables.
Alors $\text{[math]}$ est de Cauchy en mesure si : $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$
Définition 4:
Soient $\text{[math]}$ une suite de fonctions mesurables.
Alors $\text{[math]}$ converge en mesure locale vers $\text{[math]}$ si : $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$
Définition 5:
Soient $\text{[math]}$ une suite de fonctions mesurables.
Alors $\text{[math]}$ est de Cauchy en mesure locale si : $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$
Définition 6:
Soient $\text{[math]}$ une suite de fonctions mesurables.
Alors $\text{[math]}$ est de Cauchy $\text{[math]}$ -presque partout si : $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$

Merci d'avance pour votre aide.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 13/12/2016, 21h57

Bonsoir,

Voici la solution aux quatre premières questions, il me reste $\text{[math]}$ , pouvez vous m'aider s'il vous plaît ? :

$\text{[math]}$ Soit : $\text{[math]}$ :
Il s'agit de montrer que : $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ .
Par hypothèse , $\text{[math]}$ est de Cauchy en mesure locale :
Alors : $\text{[math]}$ et : $\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$ .
En particulier, pour $\text{[math]}$ : On a : $\text{[math]}$ et : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$ .
C'est à dire : $\text{[math]}$ et : $\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$
Par ailleurs : $\text{[math]}$ est une suite croissante de mesurables;
D'après la propriété de continuité croissante : $\text{[math]}$
Par conséquent : $\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$ car : $\text{[math]}$
En revanche : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Et donc : $\text{[math]}$
c'est à dire : $\text{[math]}$
Par hypothèse :
On fixe : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$
D'autre part : $\text{[math]}$ est de Cauchy en mesure sur $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$
On prend : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$
Par conséquent $\text{[math]}$ est de Cauchy en mesure locale sur $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ une suite de fonctions mesurables $\text{[math]}$ - presque partout
Alors,
- $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$
Par suite : $\text{[math]}$ :
- $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ :
- $\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$
Par conséquent :
$\text{[math]}$ est une suite $\text{[math]}$ - preque partout pour tout $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ une suite de Cauchy $\text{[math]}$ - presque partout sur $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et :
$\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$
Par conséquent :
$\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$
et : $\text{[math]}$ quant $\text{[math]}$
Par conséquent : $\text{[math]}$ est de Cauchy $\text{[math]}$ - presque partout sur $\text{[math]}$ .

Pouvez vous m'aider pour la question $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 16/12/2016, 20h17

Bonjour,

Voici ce que j'ai fait :
On choisit $\text{[math]}$ de sorte que : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ . D'où : $\text{[math]}$ .
Ensuite, on pose : $\text{[math]}$ . D'où : $\text{[math]}$ par sous additivité de $\text{[math]}$ .
Pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on peut établir, par définition de la sous suite $\text{[math]}$ que :
$\text{[math]}$
Cela signifie que :
$\text{[math]}$
Puisque $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ - finie, alors, par définition :
Il existe une suite croissante, $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ vérifiant : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .
Par $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$
C'est à dire que :
$\text{[math]}$
Puisque : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ et donc, $\text{[math]}$ .
Par conséquent :
$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Par conséquent, si une suite $\text{[math]}$ de fonctions $\text{[math]}$ mesurables est de Cauchy en mesure locale,
on peut extraire une sous-suite de Cauchy \mu - presque partout.
Correct ?

Merci d'avance.

Modes de convergence ( Théorie de la mesure ).

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